Открытый банк заданий ЕГЭ

а) Решите уравнение 3\tg^2 x − \frac{5}{\cos x} + 1 = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−\frac{7\pi}{2}; −2\pi].

На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа а и b, записанные на доске, заменяются на два числа: или а + b и 2а - 1, или а + b и 2b - 1 (например, из чисел 2 и 3 можно получить либо 3 и 5, либо 5 и 5).

а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из двух чисел, написанных на доске, окажется числом 13.
б) Может ли после 200 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 400?
в) Сделали 513 ходов, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|2x^2 - 3x - 2| = a - 2x^2 - 8x
либо не имеет решений, либо имеет единственное решение.

Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярно диагонали AC, пересекает сторону AD в точке М, равноудалённой от вершин В и D.

а) Докажите, что \angle ABM = \angle DBC = 30^\circ.
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой CM, если BC = 9.

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на 80 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какой долг будет 15-го числа 10-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1198 тысяч рублей?

Решите неравенство \log_5((3 − x)(x^2 + 2)) \ge \log_5(x^2 − 7x + 12) + \log_5(5 − x).

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 известны длины рёбер: AB = 6\sqrt{2}, AD = 10, AA_1 = 16. На рёбрах AA_1 и BB_1 отмечены точки E и F соответственно, причём A_1E : EA = 5 : 3 и B_1F : FB = 5 : 11. Точка T — середина ребра B_1C_1.

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через точку D_1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.

а) Решите уравнение \log_{13}(\cos 2x − 9\sqrt{2}\cos x − 8) = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−2\pi; −\frac{\pi}{2}].

а) Представьте число \frac{33}{100} в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.

б) Представьте число \frac{15}{91} в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.

в) Найдите все возможные пары натуральных чисел m и n, для которых m \le n и \frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{1}{14}.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
\sqrt{x^4 - x^2 + a^2} = x^2 + x - a
имеет ровно три различных корня.