Открытый банк заданий ЕГЭ

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
\sqrt{5 - 7x} \cdot \ln(9x^2 - a^2) = \sqrt{5 - 7x} \cdot \ln(3x + a)
имеет ровно один корень.

Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырёхугольника ABCD, причёмB и C – вершины равнобедренных треугольников с основаниями AM и DM соответственно, а прямые AM и MD перпендикулярны.

a) Докажите, что биссектрисы углов при вершинах B и C четырёхугольника ABCD пересекаются на стороне AD.
б) Пусть N – точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь
четырёхугольника ABCD, если известно, что BM : MC = 3 : 4, а площадь четырёхугольника, стороны которого лежат на прямых AM, DM, BN и CN, равна 24.

15-го января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условия его возврата таковы:

– 1-го числа k -го месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число k -го месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа k -го месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит?

Решите неравенство \log_2((x − 1)(x^2 + 2)) \le 1 + \log_2(x^2 + 3x − 4) − \log_2 x.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 известны длины рёбер: AB = 4, BC = 3, AA_1 = 2. Точки P и Q — середины рёбер A_1B_1 и CC_1 соответственно. Плоскость APQ пересекает ребро B_1C_1 в точке U.

а) Докажите, что B_1U : UC_1 = 2 : 1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 плоскостью APQ.

а) Решите уравнение 2x\cos x − 8\cos x + x − 4 = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−\frac{\pi}{2}; \pi].

В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 4 письма, или 21 письмо, причём и тех, и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.

а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
2^x - a = \sqrt{4^x - a}
имеет единственный корень.

В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине A расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая — боковых сторон, меньшего основания BC и первой окружности.

а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в точке P. Докажите, что \frac{AP}{PD} = \sin D.
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны \frac{4}{3} и \frac{1}{3}.

15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 300 тысяч рублей на 21 месяц. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;
— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.