Открытый банк заданий ЕГЭ

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
\sqrt{x^4 + (a - 5)^4} = |x + a - 5| + |x - a + 5|
имеет единственое решение.

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке в размере S тыс. рублей, где S — натуральное число, на 3 года. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Месяц и год — долг (в тыс. рублей)
Июль 2016 — S
Июль 2017 — 0,7S
Июль 2018 — 0,4S
Июль 2019 — 0

Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.

Решите неравенство 2\log_2(1 − 2x) − \log_2\left(\frac{1}{x} − 2\right) \le \log_2(4x^2 + 6x − 1).

а) Решите уравнение \left(\frac{1}{49}\right)^{\sin(x+\pi)} = 7^{2\sqrt{3}\sin\left(\frac{\pi}{2}−x\right)}.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3\pi; \frac{9\pi}{2}].

Три числа назовём хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника.
Три числа назовём отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.

а) Даны 8 различных натуральных чисел. Может ли оказаться, что среди них не найдётся ни одной хорошей тройки?
б) Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три отличных тройки?
в) Даны 12 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
\sqrt{2^x - a} + \frac{a - 1}{\sqrt{2^x - a}} = 1
имеет ровно два различных корня.

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК и СМ. На них из точек М и К опущены перпендикуляры МЕ и КН соответственно.

а) Докажите, что прямые ЕН и АС параллельны.
б) Найдите отношение ЕН к АС, если \angle ABC = 30^\circ.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4,5 млн рублей на срок 9 лет. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите r, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,4 млн рублей, а наименьший – не менее 0,6 млн рублей.

Решите неравенство \frac{\log_5(25x)}{\log_5 x − 2} + \frac{\log_5 x − 2}{\log_5(25x)} \ge \frac{6-\log_5 x^4}{\log_5^2 x − 4}.

Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 имеют длину 6. Точки M и N — середины рёбер AA_1 и A_1C_1 соответственно.

а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB_1.