Открытый банк заданий ЕГЭ

а) Решите уравнение x − 3\sqrt{x − 1} + 1 = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\sqrt{3}; \sqrt{20}].

Найдите все значения параметра a, для каждого из которых имеет хотя бы один корень уравнение
\sin^{14} x + (a - 3 \sin x)^7 + \sin^2 x + a = 3 \sin x.

В равнобедренном тупоугольном треугольнике АВС на продолжение
боковой стороны ВС опущена высота АН. Из точки Н на сторону АВ и
основание АС опущены перпендикуляры НК и НМ соответственно.

а) Докажите, что отрезки АМ и МК равны.
б) Найдите МК, если АВ = 5, АС = 8.

15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1100 тысяч рублей на 31 месяц. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 30-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 31-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какой долг будет 15-го числа 30-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1503 тысячи рублей?

Решите неравенство \frac{\log_3(9x) \cdot \log_4(64x)}{5x^2 − |x|} \le 0.

а) Решите уравнение 2\sin^2 x − \cos(−x) − 1 = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−\pi; \frac{\pi}{2}].

На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно A, среднее арифметическое во второй группе равно B. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)

а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше \frac{A + B}{2}.
б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно \frac{A + B}{2}.
в) Найдите наибольшее возможное значение выражения \frac{A + B}{2}.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
3 \sin x + \cos x = a
имеет единственное решение на отрезке \left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right].

В треугольнике ABC угол ABC тупой, H – точка пересечения продолжений высот, угол AHC равен 60^\circ.

а) Докажите, что угол ABC равен 120^\circ.
б) Найдите BH, если AB = 7, BC = 8.

Решите неравенство \frac{4^x − 2^{x+3} + 7}{4^x − 5 \cdot 2^x + 4} \le \frac{2^x − 9}{2^x − 4} + \frac{1}{2^x − 6}.