Открытый банк заданий ЕГЭ

Основанием прямой четырёхугольной призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 является ромб ABCD, AB = AA_1.

а) Докажите, что прямые A_1C и BD перпендикулярны.
б) Найдите объём призмы, если A_1C = BD = 2.

а) Решите уравнение 2\cos 2x + 4\sqrt{3}\cos x − 7 = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\frac{5\pi}{2}; 4\pi].

а) Существует ли конечная арифметическая прогрессия, состоящая из пяти натуральных чисел, такая, что сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 99?
б) Конечная арифметическая прогрессия состоит из шести натуральных чисел. Сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 9. Найдите все числа, из которых состоит эта прогрессия.
в) Среднее арифметическое членов конечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, равно 6,5. Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(5x - 2) \cdot \ln(x + a) = (5x - 2) \cdot \ln(2x - a)
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].

Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. На катете AC взята точка M. Окружность с центром O и диаметром CM касается гипотенузы в точке N.

а) Докажите, что прямые MN и BO параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN = 4 и AM : MC = 1 : 3.

15-го марта в банке был взят кредит на некоторую сумму на 31 месяц. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 30-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа 30-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;
— к 15-му числу 31-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какая сумма была взята в кредит, если общая сумма выплат после его погашения составила 555 тысяч рублей?

Решите неравенство \log_{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{13}}{5}} 4 \ge \log_{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{13}}{5}}(5 − 2^x).

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна боковому ребру SA. Медианы треугольника SBC пересекаются в точке M.

а) Докажите, что AM = AD.
б) Точка N — середина AM. Найдите SN, если AD = 6.

а) Решите уравнение \sqrt{2}\sin^3 x − \sqrt{2}\sin x + \cos^2 x = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−\frac{5\pi}{2}; −\pi].

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n ≥ 3).

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 18?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 800?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 111.