Открытый банк заданий ЕГЭ

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|x^2 - 2ax + 7| = |6a - x^2 - 2x - 1|
имеет более двух различных корней.

Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника ABC вторично пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке L. Прямая, проходящая через точку L и середину N гипотенузы AB, пересекает катет BC в точке M.

а) Докажите, что \angle BML = \angle BAC.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если AB = 20 и CM = 3\sqrt{5}.

Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего года и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на одну и ту же фиксированную сумму, равную целому числу миллионов рублей. Найдите наименьший возможный размер такой суммы, при котором через четыре года вклад станет не меньше 30 млн рублей.

Решите неравенство \frac{3\lg^2 x − 8}{\lg^2 x − 4} \ge 2.

В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 все рёбра равны 7. На его ребре BB_1 отмечена точка K так, что KB = 4. Через точки K и C_1 проведена плоскость \alpha, параллельная прямой BD_1.

а) Докажите, что A_1P : PB_1 = 1 : 3, где P — точка пересечения плоскости \alpha с ребром A_1B_1.
б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью \alpha.

а) Решите уравнение 2\sin^2 x + \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \cos x.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−2\pi; −\frac{\pi}{2}].

Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковым произведением чисел.

а) Является ли множество {100; 101; 102; ...; 199} хорошим?
б) Является ли множество {2; 4; 8; ...; 2^{200}} хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {1; 3; 4; 5; 6; 7; 9; 11; 12}?

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
\frac{x^3 + x^2 - 9a^2 x - 2x + a}{x^3 - 9a^2 x} = 1
имеет ровно один корень.

В прямоугольном треугольнике АВС точки М и N – середины гипотенузы АВ и катета ВС соответственно. Биссектриса угла ВАС пересекает прямую MN в точке L.

а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если cos \angle BAC = \frac{7}{25}.

Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.

В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t^2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 2t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t^2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 5t единиц товара.

За каждый час работы (на каждом из заводов) Владимир платит рабочему 500 рублей.

Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара. Какую наименьшую сумму придётся тратить еженедельно на оплату труда рабочих?