Открытый банк заданий ЕГЭ

Решите неравенство 27 \cdot 45^x − 27^{x+1} − 12 \cdot 15^x + 12 \cdot 9^x + 5^x − 3^x \le 0.

В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 все рёбра равны 8. На рёбрах AA_1 и CC_1 отмечены точки M и N соответственно, причём AM = 3, CN = 1.

а) Докажите, что плоскость MNB_1 разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.
б) Найдите объём тетраэдра MNBB_1.

а) Решите уравнение 2\cos^2 x + 2\sin 2x = 3.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−\frac{3\pi}{2}; −\frac{\pi}{2}].

Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более \frac{2}{11} от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более \frac{2}{5} от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
\begin{cases}
ax^2 + ay^2 - (2a - 5)x + 2ay + 1 = 0,\\
x^2 + y = xy + x
\end{cases}
имеет ровно четыре различных решения.

В трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность с центром O.

а) Докажите, что sin \angle AOD = \sin \angle BOC.
б) Найдите площадь трапеции, если \angle BAD = 90^\circ, а основания равны 5 и 7.

В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на 30% по сравнению с предыдущим годом;
— с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.

Определите, на какую сумму взяли кредит в банке, если известно, что кредит был выплачен тремя равными платежами (за 3 года) и общая сумма выплат на 78 030 рублей больше суммы взятого кредита.

Решите неравенство \frac{31 − 5 \cdot 2^x}{4^x − 24 \cdot 2^x + 128} \ge 0,25.

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 4. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость \alpha содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость \alpha делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью \alpha.

а) Решите уравнение \frac{\sin x}{\sin^2 \frac{x}{2}} = 4\cos^2 \frac{x}{2}.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−\frac{9\pi}{2}; −3\pi].