Старт
На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 30. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.
а) Приведите пример последовательных 5 ходов.
б) Можно ли сделать 10 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x^2 + (a + 7)^2 = |x - 7 - a| + |x + a + 7|
имеет единственный корень.
Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC = CD.
а) Докажите, что AB:BC = AP:PD.
б) Найдите площадь треугольника COD, где O – центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD – диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB = 6, a BC = 6\sqrt{2}.
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Месяц и год — Долг (в млн рублей)
Июль 2016 — S
Июль 2017 — 0,7S
Июль 2018 — 0,4S
Июль 2019 — 0
Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет больше 5 млн рублей.
Решите неравенство \log_{11}(8x^2 + 7) − \log_{11}(x^2 + x + 1) \ge \log_{11}\left(\frac{x}{x + 5} + 7\right).
Точка E лежит на высоте SO, а точка F — на боковом ребре SC правильной четырёхугольной пирамиды SABCD, причём SE : EO = SF : FC = 2 : 1.
а) Докажите, что плоскость BEF пересекает ребро SD в его середине.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью BEF, если AB = 8, SO = 14.
а) Решите уравнение \log_5(2 − x) = \log_{25} x^4.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\log_9 \frac{1}{82}; \log_9 8].
На доске написано число 2045 и ещё несколько (не менее двух) натуральных чисел, не превосходящих 5000. Все написанные на доске числа различны. Сумма любых двух из написанных чисел делится на какое-нибудь из остальных.
а) Может ли на доске быть написано ровно 1024 числа?
б) Может ли на доске быть написано ровно пять чисел?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске?
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
\left(x + \frac{1}{x-a}\right)^2 - (a + 9)\left(x + \frac{1}{x-a}\right) + 2a(9-a) = 0
имеет ровно 4 решения.
Боковые стороны AB и AC равнобедренного треугольника ABC вдвое больше основания BC. На боковых сторонах AB и AC отложены отрезки AP и CQ соответственно, равные четверти этих сторон.
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная его основанию, делится прямой PQ в отношении 1:3.
б) Найдите длину отрезка прямой PQ, заключенного внутри вписанной окружности треугольника ABC, если BC = 4\sqrt{19}.
