Старт
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?
Решите неравенство \frac{1}{\log_3 x + 4} + \frac{2}{\log_3(3x)} \cdot \left(\frac{2}{\log_3 x + 4} − 1\right) \le 0.
Ребро куба ABCDA_1B_1C_1D_1 равно 6. Точки K, L и M — центры граней ABCD, AA_1D_1D и CC_1D_1D соответственно.
а) Докажите, что B_1KLM — правильная пирамида.
б) Найдите объём B_1KLM.
а) Решите уравнение (49^{\cos x})^{\sin x} = 7^{\sqrt{2}\cos x}.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\frac{5\pi}{2}; 4\pi].
Максим должен был умножить двузначное число на трёхзначное число (числа с нуля начинаться не могут). Вместо этого он просто приписал трёхзначное число справа к двузначному, получив пятизначное число, которое оказалось в N раз (N — натуральное число) больше правильного результата.
а) Могло ли N равняться 2?
б) Могло ли N равняться 10?
в) Каково наибольшее возможное значение N?
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции
f(x) = 4x^2 - 4ax + a^2 + 2a + 2
на множестве |x| \ge 1 не меньше 6.
В прямоугольную трапецию ABCD с прямым углом при вершине A и острым углом при вершине D вписана окружность с центром O. Прямая DO пересекает сторону AB в точке M, а прямая CO пересекает сторону AD в точке K.
а) Докажите, что \angle AMO = \angle DKO.
б) Найдите площадь треугольника AOM, если BC = 10 и AD = 15.
15-го марта планируется взять кредит в банке на 26 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца с 1-го по 25-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
– к 15-му числу 26-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1924 тысячи рублей?
Решите неравенство \frac{\log_2(2x^2 − 17x + 35) − 1}{\log_7(x + 6)} \le 0.
В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 сторона AB основания равна 6, а боковое ребро AA_1 равно 3. На рёбрах AB и B_1C_1 отмечены точки K и L соответственно, причём AK = B_1L = 2. Точка M — середина ребра A_1C_1. Плоскость \gamma параллельна прямой AC и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости \gamma.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка M, а основание — сечение данной призмы плоскостью \gamma.
