Открытый банк заданий ЕГЭ

а) Решите уравнение \sqrt{x^3 − 4x^2 − 10x + 29} = 3 − x.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−\sqrt{3}; \sqrt{30}].

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.

а) Может ли S быть равной 16\frac{5}{6}?
б) Может ли S быть равной 369\frac{29}{126}?
в) Найдите наибольшее целое значение S, если каждое из исходных чисел было трёхзначным.

Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
\left|\frac{x^2 + ax + 1}{x^2 + x + 1}\right| < 3
выполняется при всех x.

В треугольнике ABC проведена биссектриса AM. Прямая, проходящая через вершину B перпендикулярно AM, пересекает сторону AC в точке N; AB = 6, BC = 5, AC = 9.

а) Докажите, что биссектриса угла C делит отрезок MN пополам.
б) Пусть P — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите отношение AP : PN.

Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 3 млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше 25 млн рублей.

Решите неравенство \frac{2^{5+x} − 2^{−x}}{2^{3−x} − 4^{−x}} \ge 2^x.

В треугольной пирамиде PABC с основанием ABC известно, что AB = 13, PB = 15, \cos \angle PBA = \frac{48}{65}. Основанием высоты этой пирамиды является точка C. Прямые PA и BC перпендикулярны.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды PABC.

а) Решите уравнение \cos 2x − 3\cos(−x) + 2 = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2\pi; \frac{7\pi}{2}].

В шахматы можно выиграть, проиграть или сыграть вничью. Шахматист записывает результат каждой сыгранной им партии и после каждой партии подсчитывает три показателя: «победы» - процент побед, округлённый до целого, «ничьи» - процент ничьих, округлённый до целого, и «поражения», равные разности 100 и суммы показателей «побед» и «ничьих». (Например, число 13,2 округляется до 13, число 14,5 округляется до 15, число 16,8 округляется до 17).

а) Может ли в какой-то момент показатель «побед» равняться 17, если было сыграно менее 50 партий?
б) Может ли после выигранной партии увеличиться показатель «поражений»?
в) Одна из партий была проиграна. При каком наименьшем количестве сыгранных партий показатель «поражений» может быть равным 1?

Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение
x^{10} + (a - 2|x|)^5 + x^2 - 2|x| + a = 0
имеет более трёх различных решений.