Открытый банк заданий ЕГЭ

Квадрат ABCD вписан в окружность. Хорда CE пересекает диагональ BD в точке K.

а) Докажите, что произведение CK \cdot CE равно площади квадрата.
б) Найдите отношение CK : KE, если \angle ECD = 15^\circ.

Зависимость объёма Q (в шт.) купленного у фирмы товара от цены Р (в руб. за шт.) выражается формулой Q = 15 000 - Р, 1000 \leq P \leq 15 000. Доход от продажи товара составляет PQ рублей. Затраты на производство Q единиц товара составляют 3000Q + 5 000 000 рублей. Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство. Стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену товара на 20%, однако её прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?

Решите неравенство \log_2(4x^2 − 1) − \log_2 x \le \log_2\left(5x + \frac{9}{x} − 11\right).

Основание пирамиды PABCD — трапеция ABCD, причём \angle BAD + \angle ADC = 90^\circ. Плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, прямые AB и CD пересекаются в точке K.

а) Докажите, что плоскости PAB и PCD перпендикулярны.
б) Найдите объём пирамиды PKBC, если AB = BC = CD = 3, а высота пирамиды равна 8.

а) Решите уравнение 2\cos^2\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) + \sqrt{3}\sin x = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\frac{5\pi}{2}; 4\pi].

Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.

а) Найдите числа a, b, c и d, если a + b + c + d = 16 и a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = 32.
б) Может ли быть a + b + c + d = 29 и a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = 29?
в) Пусть a + b + c + d = 1400 и a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = 1400. Найдите количество возможных решений числа a.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
\sqrt{3x^2 + 2ax + 1} = x^2 + ax + 1
имеет ровно три различных корня.

В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки K, L, M и N – середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно.
Площади четырёхугольников ABLN и NLCD равны, а площади четырёхугольников KBCM и AKMD относятся как 11:17.

а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите отношение BC к AD.

В июле планируется взять кредит на сумму 6 409 000 рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 12,5% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен двумя равными платежами (то есть за два года)?

Решите неравенство \log_3^2(x^2 − 16) − 5\log_3(x^2 − 16) + 6 \ge 0.