Старт
Различные точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S так, что отрезок AB является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60^\circ.
а) Докажите, что \cos \angle ASC + \cos \angle BSC = 1,5.
б) Найдите объём тетраэдра SABC, если SC = 1, \cos \angle ASC = \frac{2}{3}.
а) Решите уравнение \cos x + \sqrt{3}\sin\left(\frac{3\pi}{2} − \frac{x}{2}\right) + 1 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−4\pi; −\frac{5\pi}{2}].
Имеется 10 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9, 10, -11. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9, 10, -11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные десять сумм перемножают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
\frac{9x^2 - a^2}{x^2 + 8x + 16 - a^2} = 0
имеет ровно два различных корня.
В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC.
а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых втрое больше другого.
б) Пусть O — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Найдите расстояние от вершины C до середины отрезка OD, если BC = 16 и AB = 10.
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Месяц и год — долг (в млн рублей)
Июль 2016 — S
Июль 2017 — 0,8S
Июль 2018 — 0,5S
Июль 2019 — 0,1S
Июль 2020 — 0
Найдите наибольшее значение S, при котором общая сумма выплат будет меньше 50 млн рублей.
Решите неравенство \frac{\log_5(5x − 27)}{\log_5(x − 5)} \ge 1.
Основанием прямой треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Диагонали боковых граней AA_1B_1B и BB_1C_1C равны 15 и 9 соответственно, AB = 13.
а) Докажите, что треугольник BA_1C_1 прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды AA_1C_1B.
а) Решите уравнение \tg^2 x + 5\tg x + 6 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−2\pi; −\frac{\pi}{2}].
На доске было написано 30 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 7. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньшее первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 1, с доски стёрли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 14?
б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 12, но меньше 13?
в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
