Старт
Решите неравенство \log_5(3x + 1) + \log_5\left(\frac{1}{72x^2} + 1\right) \ge \log_5\left(\frac{1}{24x} + 1\right).
Авторизоваться
Открытый банк заданий ЕГЭ
На рёбрах CD и BB_1 куба ABCDA_1B_1C_1D_1 с ребром 12 отмечены точки P и Q соответственно, причём DP = 4, а B_1Q = 3. Плоскость APQ пересекает ребро CC_1 в точке M.
а) Докажите, что точка M является серединой ребра CC_1.
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости APQ.
а) Решите уравнение 2\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) − \cos x = \sqrt{3}\sin 2x − 1.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\frac{5\pi}{2}; 4\pi].
Рассмотрим частное трёхзначного числа, в записи которого нет нулей, и произведения его цифр.
а) Приведите пример числа, для которого это частное равно \frac{113}{27}.
б) Может ли это частное равняться \frac{125}{27}?
в) Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем 27?
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|\sin^2 x + 2 \cos x + a| = \sin^2 x + \cos x - a
имеет на промежутке (\frac{\pi}{2}; \pi] единственный корень.
В окружность вписана трапеция ABCD, AD – большее основание, проведена высота BH, вторично пересекающая окружность в точке K.
а) Докажите, что AC перпендикулярна AK.
б) Найдите AD, если радиус описанной окружности равен 12, \angle BAC = 30^\circ, CK пересекает основание AD в точке N. Площадь четырёхугольника BHNC в 8 раз больше, чем площадь треугольника KHN.
Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на х млн рублей, где х — целое число. Найдите наименьшее значение х, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 7 млн рублей.
Решите неравенство \log_2^2(16 + 6x − x^2) + 10\log_{0,5}(16 + 6x − x^2) + 24 > 0.
В основании прямой треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 лежит равнобедренный (AB = BC) треугольник ABC. Точка K — середина ребра A_1B_1, а точка M делит ребро AC в отношении AM : MC = 1 : 3.
а) Докажите, что KM \perp AC.
б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB_1, если AB = 6, AC = 8 и AA_1 = 3.
а) Решите уравнение 4 \cdot 16^{x−\frac{1}{2}} − 5 \cdot 12^x + 2 \cdot 9^{x+\frac{1}{2}} = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2; 3].
