Открытый банк заданий ЕГЭ

Решите неравенство \frac{15^x − 3^{x+1} − 5^{x+1} + 15}{−x^2 + 2x} \ge 0.

В пирамиде SABC известны длины рёбер: AB = AC = \sqrt{29}, BC = SA = 2\sqrt{5}, SB = SC = \sqrt{13}.

а) Докажите, что прямая SA перпендикулярна прямой BC.
б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC.

а) Решите уравнение 3 \cdot 9^{x+1} − 5 \cdot 6^{x+1} + 8 \cdot 2^{2x} = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−\frac{\pi}{2}; \pi].

На доске написано более 35, но менее 49 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 14, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -7.

а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(\tg x + 6)^2 - (a^2 + 2a + 8)(\tg x + 6) + a^2(2a + 8) = 0
имеет на отрезке \left[0; \frac{3\pi}{2}\right] ровно два решения.

Высоты BB_1 и CC_1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.

а) Докажите, что \angle AHB_1 = \angle ACB.
б) Найдите BC, если AH = 4 и \angle BAC = 60^\circ.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 7 млн рублей на срок 10 лет. Условия возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем.

Найдите наименьшую возможную ставку r, если известно, что последний платёж будет не менее 0,819 млн рублей.

Решите неравенство 9^{4x−x^2−1} − 36 \cdot 3^{4x−x^2−1} + 243 \ge 0.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания — точки B_1 и C_1, причём BB_1 — образующая цилиндра, а отрезок AC_1 пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол ABC_1 прямой.
б) Найдите угол между прямыми BB_1 и AC_1, если AB = 6, BB_1 = 15, B_1C_1 = 8.

а) Решите уравнение 3\tg^2 x − \frac{5}{\cos x} + 1 = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−\frac{7\pi}{2}; −2\pi].