Открытый банк заданий ЕГЭ

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
\begin{cases}
(x + ay - 5)(x + ay - 5a) = 0,\\
x^2 + y^2 = 16
\end{cases}
имеет ровно четыре различных решения.

В треугольнике ABC провели высоту CC_1 и медиану AA_1. Оказалось, что точки A, A_1, C, C_1 лежат на одной окружности.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если AA_1 : CC_1 = 3 : 2 и A_1C_1 = 2.

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 550 000 рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за два года)?

Решите неравенство \frac{\log_3 x}{\log_3\left(\frac{x}{27}\right)} \ge \frac{4}{\log_3 x} + \frac{8}{\log_3^2 x − \log_3 x^3}.

В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 все рёбра равны 2. Точка M — середина ребра AA_1.

а) Докажите, что прямые MB и B_1C перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми MB и B_1C.

а) Решите уравнение \tg^3 x + \tg^2 x − 3\tg x − 3 = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2\pi; \frac{7\pi}{2}].

Имеются каменные глыбы: 50 штук по 800 кг, 60 штук по 1000 кг и 60 штук по 1500 кг (раскалывать глыбы нельзя).

а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 60 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 38 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
в) Какое наименьшее количество грузовиков, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x^2 + (x - 1) \cdot \sqrt{3x - a} = x
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основаниям. Из точки A на сторону CD опустили перпендикуляр AH. На стороне AB отмечена точка E так, что прямые CD и CE перпендикулярны.

а) Докажите, что прямые BH и ED параллельны.
б) Найдите отношение BH к ED, если \angle BCD = 135^\circ.

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:

Месяц и год — долг (в млн рублей)
Июль 2016 — S
Июль 2017 — 0,7S
Июль 2018 — 0,4S
Июль 2019 — 0

Найдите наибольшее значение S, при котором разница между наибольшей и наименьшей выплатами будет меньше 1 млн рублей.