Старт
В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB = 5 и диагональю BD = 9. Все боковые рёбра пирамиды равны 5. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS — точка F так, что SF = BE = 4.
а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB.
б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.
а) Решите уравнение \cos^2(\pi − x) − \sin\left(x + \frac{3\pi}{2}\right) = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\frac{5\pi}{2}; 4\pi].
Дано трёхзначное число А, сумма цифр которого равна S.
а) Может ли выполняться равенство A⋅S = 1105?
б) Может ли выполняться равенство A⋅S = 1106?
в) Какое наименьшее значение может принимать выражение, если оно больше 1503?
При каких значениях параметра a уравнение
\frac{|4x| - x - 3 - a}{x^2 - x - a} = 0
имеет ровно 2 различных решения.
Около треугольника ABC описана окружность. Прямая BO, где O – центр вписанной окружности, вторично пересекает описанную окружность в точке P.
а) Докажите, что OP = AP.
б) Найдите расстояние от точки P до прямой AC, если \angle ABC = 120^\circ, а радиус описанной окружности равен 18.
Зависимость количества Q (в шт., 0 \leq Q \leq 20000) купленного у фирмы товара от цены Р (в руб. за шт.) выражается формулой Q = 20000 - Р. Затраты на производство Q единиц товара составляют 6000Q + 4 000 000 рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог t рублей (0 < t < 10000) с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет PQ - 6000Q - 4 000 000 - tQ рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна tQ рублей.
Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении t общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?
Решите неравенство \log_{\frac{1}{3}}(18 − 9x) < \log_{\frac{1}{3}}(x^2 − 6x + 5) + \log_{\frac{1}{3}}(x + 2).
В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 все рёбра равны 6.
а) Докажите, что угол между прямыми AC и BC_1 равен 60^\circ.
б) Найдите расстояние между прямыми AC и BC_1.
а) Решите уравнение 9^{x+1} − 2 \cdot 3^{x+2} + 5 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (\log_3 \frac{3}{2}; \sqrt{5}).
В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.
а) Может ли n быть больше 5?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?
в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 6. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?
