Решение:
Данное уравнение равносильно системе:

Пусть 
Поскольку  для  получаем:  при  и  при 
Тогда уравнение принимает вид  Оно имеет корни  и Поскольку  корень  исключаем.
При  должно выполняться условие  получим:

откуда 
При  должно выполняться условие  получим:

откуда 
При исходное уравнение имеет хотя бы одно решение.

Обоснованно получен верный ответ - 4 балла
С помощью верного рассуждения получено множество значений  отличающееся от искомого только включением точек и/или  - 3 балла
С помощью верного рассуждения получено одно из множеств или  множества значений возможно, с исключением точек  или  ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения - 2 балла
Найдены корни уравнения  при  и и задача верно сведена к исследованию корней уравнений  и/или  при  и - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ:

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Данное уравнение равносильно системе:

Пусть 
Поскольку  для  получаем:  при  и  при 
Тогда уравнение принимает вид  Оно имеет корни  и Поскольку  корень  исключаем.
При  должно выполняться условие  получим:

откуда 
При  должно выполняться условие  получим:

откуда 
При исходное уравнение имеет хотя бы одно решение.

Обоснованно получен верный ответ - 4 балла
С помощью верного рассуждения получено множество значений  отличающееся от искомого только включением точек и/или  - 3 балла
С помощью верного рассуждения получено одно из множеств или  множества значений возможно, с исключением точек  или  ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения - 2 балла
Найдены корни уравнения  при  и и задача верно сведена к исследованию корней уравнений  и/или  при  и - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ:

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Рассмотрим неравенство как квадратное относительно


Изобразим графики функций  и на плоскости

Общие точки графиков -  и  что можно проверить подстановкой их координат в уравнения  и 
Больше двух точек быть не может в силу противоположной выпуклости данных кривых. На промежутке  решения неравенства есть тогда и только тогда, когда 

Обоснованно получен верный ответ - 4 балла
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точки - 3 балла
С помощью верного рассуждения получено множество значений  возможно, не включая концы. ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения - 2 балла
Задача верно сведена к исследованию возможного значения корней уравнения - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ:

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Рассмотрим неравенство как квадратное относительно


Изобразим графики функций  и на плоскости

Общие точки графиков -  и  что можно проверить подстановкой их координат в уравнения  и 
Больше двух точек быть не может в силу противоположной выпуклости данных кривых. На промежутке  решения неравенства есть тогда и только тогда, когда 

Обоснованно получен верный ответ - 4 балла
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точки  - 3 балла
С помощью верного рассуждения получено множество значений  возможно, не включая концы. ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения - 2 балла
Задача верно сведена к исследованию возможного значения корней уравнения - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ:

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Рассмотрим неравенство как квадратное относительно


Изобразим графики функций  и на плоскости

Общие точки графиков -  и  что можно проверить подстановкой их координат в уравнения  и 
Больше двух точек быть не может в силу противоположной выпуклости данных кривых. На промежутке  решения неравенства есть тогда и только тогда, когда 

Обоснованно получен верный ответ - 4 балла
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точки - 3 балла
С помощью верного рассуждения получено множество значений  возможно, не включая концы. ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения - 2 балла
Задача верно сведена к исследованию возможного значения корней уравнения - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ:

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
ОДЗ:

Именно так, потому что если это не так, то исходное уравнение не имеет решений по определению, а если это так, то при возведении в квадрат обеих частей исходного уравнения, подкоренное выражение будет автоматически приравнено к квадрату, а значит автоматически становится неотрицательным.
Если удастся получить три различных корня, то есть их представление в виде выражений, содержащих то в конце обязательно нужно будет подставить эти выражения в правую часть исходного уравнения и проверить выполнение условия.
Давайте для удобства дальнейшего возведения в квадрат обеих частей исходного уравнения выделим в правой части что-то, что будет похожим на левую.
Теперь возводим обе части в квадрат.

Надо замечать, что произведение скобок это формула разности квадратов, причем там получится –9, а если раскрыть скобки во вором слагаемом, то там получится +9 и не останется слагаемых, содержащих только числа - это очень хорошо. Да и к тому же делать особо нечего.

Графическая интерпретация записанной совокупности такова: есть статичный график  и две прямые, проходящие через Причем совершенно точно известно, что

при любом а. Значит

Качественно различных случаев взаимного расположения параболы и двух прямых только три:
1) когда обе прямые убывают;
2) когда обе прямые возрастают;
3) когда одна прямая убывает, а другая возрастает.
Рисуем:

Первый случай:

Второй случай:

Третий случай:

Если коротко, то объединение трех неравенств запишется так:
При ограничение на ОДЗ выполняется. Теперь нужно подставить наши корни

и проверить выполнение условия.

Итак, окончательно:

Обоснованно получен правильный ответ – 4 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано – 3 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной – 2 балла
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Ответ: 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
При  уравнение принимает вид  откуда находим  Корень  удовлетворяет неравенству  при  откуда получаем
При  уравнение принимает вид  При  это уравнение не имеет корней, а при  оно имеет единственный корень  Корень  принадлежит отрезку  при  откуда получаем



Следовательно, уравнение  имеет корень на отрезке  при и 
При  уравнение принимает вид  откуда находим 
Корень  удовлетворяет неравенству  при  откуда получаем 
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при  и

Обоснованно получен верный ответ - 4 балла
С помощью верного рассуждения получено множество значений  отличающееся от искомого только включением точек и/или  - 3 балла
Верно раскрыты модули в исходном уравнении. Задача сведена к исследованию принадлежности корней соответствующим промежуткам в зависимости от значений и хотя бы два случая исследованы верно, при этом исследовано количество корней исходного уравнения при  ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения - 2 балла
Верно раскрыты модули в исходном уравнении, задача сведена к исследованию принадлежности корней соответствующим промежуткам в зависимости от значений и хотя бы один из случаев исследован верно - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ:

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

Изобразив систему графически, можно заметить, что задаче удовлетворяют все такие a, для которых выполнено

A и D находятся подстановкой в и соответственно, а B и C находятся при подстановке в и соответственно.

Обоснованно получен правильный ответ – 4 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано – 3 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной – 2 балла
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Ответ: 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

ОДЗ:
 
Заметим, что  - функции чётные, они убирают минус, и если (x; y) решение системы, то (-x; y) тоже.
Единственное решение система имеет, если x = 0.

x = 0 
(1)






(0; 1) - решение (1) уравнения.

x = 0; y = 1
(2)

Проверим а = 1.
(2)

Подставим x = 0 в (1).


(0; 1) - единственное решение.

Проверим а = -1.
(2) 






 
- 3 решения.

Ответ: а = 1

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
При первое уравнение системы задаёт прямую а при  пару параллельных прямых и заданных уравнениями и соответственно.
Второе уравнение системы задаёт окружность радиусом 3 с центром
в точке
Прямая и окружность имеют не более двух общих точек. Значит, исходная
система уравнений имеет ровно четыре различных решения тогда и только
тогда, когда и окружность пересекается с каждой из прямых и
в двух точках.
Число точек пересечения окружности с прямой равно числу корней квадратного уравнения:

Это уравнение имеет ровно два корня при положительном дискриминанте:

откуда 

Число точек пересечения окружности с прямой равно числу корней квадратного уравнения:

Это уравнение имеет ровно два корня при положительном дискриминанте:

откуда

Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно четыре решения при

Обоснованно получен правильный ответ – 4 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано – 3 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной – 2 балла
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Ответ:

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
При первое уравнение системы задаёт прямую а при  пару параллельных прямых и заданных уравнениями и соответственно.
Второе уравнение системы задаёт окружность радиусом с центром
в точке
Прямая и окружность имеют не более двух общих точек. Значит, исходная
система уравнений имеет ровно четыре различных решения тогда и только
тогда, когда и окружность пересекается с каждой из прямых и
в двух точках.
Число точек пересечения окружности с прямой равно числу корней квадратного уравнения:

Это уравнение имеет ровно два корня при положительном дискриминанте:

откуда 

Число точек пересечения окружности с прямой равно числу корней квадратного уравнения:

Это уравнение имеет ровно два корня при положительном дискриминанте:

откуда

Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно четыре решения при

Обоснованно получен правильный ответ – 4 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано – 3 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной – 2 балла
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Ответ: 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
При первое уравнение системы задаёт прямую а при пару параллельных прямых  и  заданных уравнениями и   соответственно.
Второе уравнение системы задаёт окружность радиусом 4 с центром в точке
Прямая и окружность имеют не более двух общих точек. Значит, исходная
система уравнений имеет ровно четыре различных решения тогда и только
тогда, когда и окружность пересекается с каждой из прямых  и в двух точках.
Число точек пересечения окружности с прямой равно числу корней квадратного уравнения:

Это уравнение имеет ровно два корня при положительном дискриминанте:

откуда 

Число точек пересечения окружности  с прямой равно числу корней квадратного уравнения:

Это уравнение имеет ровно два корня при положительном дискриминанте:

откуда 

Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно четыре решения при 

Обоснованно получен правильный ответ – 4 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано – 3 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной – 2 балла
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Ответ: 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Корнями исходного уравнения являются корни уравнения  для которых выполнено условие 
Поскольку  уравнение  задаёт на плоскости Oxa пару прямых l₁ и l₂, заданных уравнениями
и соответственно. Значит, это уравнение имеет один корень при и имеет два корня при  
Поскольку  уравнение задаёт пару прямых m₁ и m₂, заданных уравнениями  и  соответственно.
Координаты точки пересечения прямых l₁ и m₁ являются решением системы уравнений:

Значит, прямые l₁ и m₁ пересекаются в точке (3; 6).
Координаты точки пересечения прямых l₁ и m₂ являются решением системы уравнений:

Значит, прямые l₁ и m₂ пересекаются в точке (-1; -2).
Координаты точки пересечения прямых l₂ и m₁ являются решением системы уравнений:

Значит, прямые l₂ и m₁ пересекаются в точке (-1; 2).
Координаты точки пересечения прямых l₂ и m₂ являются решением системы уравнений:

Значит, прямые l₂ и m₂ пересекаются в точке (3; -6).
Следовательно, условие  выполнено для корней уравнения  при всех а, кроме  и 
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два корня при  

Обоснованно получен правильный ответ - 4 балла
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого только включением точки а = 0 - 3 балла
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения, и получено или множество значений a, отличающееся от искомого только 
включением точек a = −6, a = 0 и/или a = 2, или множество значений a, отличающееся от искомого только включением точек 
a = −2, a = 0 и/или a = 6, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения - 2 балла
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения прямых (аналитически или графически) - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ:  

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Корнями исходного уравнения являются корни уравнения для которых выполнено условие 
Поскольку  уравнение  задаёт на плоскости Oxa пару прямых l₁ и l₂, заданных уравнениями
и соответственно. Значит, это уравнение имеет один корень при a = 0 и имеет два корня при a ≠ 0.
Поскольку 
уравнение  задаёт пару прямых m₁ и m₂, заданных уравнениями и соответственно.
Координаты точки пересечения прямых l₁ и m₁ являются решением системы уравнений:

Значит, прямые l₁ и m₁ пересекаются в точке (2; 6).
Координаты точки пересечения прямых l₁ и m₂ являются решением системы уравнений:

Значит, прямые l₁ и m₂ пересекаются в точке (-1; -3).
Координаты точки пересечения прямых l₂ и m₁ являются решением системы уравнений:

Значит, прямые l₂ и m₁ пересекаются в точке (-1; 3).
Координаты точки пересечения прямых l₂ и m₂ являются решением системы уравнений:

Значит, прямые l₂ и m₂ пересекаются в точке (2; -6).
Следовательно, условие  выполнено для корней уравнения  при всех а, кроме и 
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два корня при   

Обоснованно получен правильный ответ – 4 балла
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого только включением точки – 3 балла
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения, и получено или множество значений а, отличающееся от искомого только включением точек и/или или множество значений а, отличающееся от искомого только включением точек и/или ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом вырно выполнены все шаги решения – 2 балла
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения прямых (аналитически или графически) – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Ответ:   

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Если то уравнение  задаёт окружность  с центром в точке и радиусом 3, а если то оно задаёт окружность с центром в точке и таким же радиусом (см. рисунок). 
При положительных значениях a уравнение  задаёт окружность  с центром в точке  и радиусом a. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения a, при каждом из которых окружность имеет единственную общую точку с объединением окружностей  и  

Из точки C проведём луч  и обозначим через и точки его пересечения с окружностью где лежит между и Так как 

то 
При или окружности и не пересекаются. 
При окружности и имеют две общие точки.
При или окружности и касаются. 
Из точки проведём луч и обозначим через и точки его пересечения с окружностью где лежит между и Так как 

то
При или окружности и не пересекаются.
При окружности и имеют две общие точки. 
При или окружности и касаются.
Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность касается ровно одной из двух окружностей и и не пересекается с другой. Так как то условию задачи удовлетворяют только числа и 

Обоснованно получен верный ответ - 4 балла
С помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но
– или в ответ включены также и одно-два неверных значения;
– или решение недостаточно обосновано - 3 балла
С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра- 2 балла
Задача сведена к исследованию:
– или взаимного расположения трёх окружностей;
– или двух квадратных уравнений с параметром - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ: 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:



Построим графики в системе Oxy:

График функции  - это прямая, которая проходит через точку (-1; 0) при любом значении параметра а.
Пусть точка А имеет координаты (-1; 0).

1) Прямая  проходит через точку С (0; 8) при 
2) Прямая  проходит через точку B (8; 16) при 
3) Найдём, при каком значении параметра а прямая касается 


Чтобы была одна точка касания 

Проверим каждое значение:
тогда для 
Точка (-5; 68) не входит в область определения.
тогда для 
Точка (3; -4) принадлежит области определения.
4) Если  параллельна  то у системы тоже два решения.

Объединим все случаи: 

Обоснованно получен правильный ответ – 4 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано – 3 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной – 2 балла
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Ответ:

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

Построим график в системе


Найдём точки пересечения прямой и гиперболы:



 – точка
 – точка

Найдём значение параметра а, при котором прямая  проходит через точки и
Точка 

Точка 

Найдём точки касания прямой  и гиперболы:




(точка ),  (точка ).

Таким образом, система имеет ровно два решения при   

Обоснованно получен правильный ответ – 4 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано – 3 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной – 2 балла
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Ответ: 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Обоснованно получен правильный ответ – 4 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано – 3 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной – 2 балла
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Обоснованно получен правильный ответ – 4 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано – 3 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной – 2 балла
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Обоснованно получен правильный ответ – 4 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано – 3 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной – 2 балла
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)