Открытый банк заданий ЕГЭ

31 декабря 2016 года Василий взял в банке 5 460 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Василий переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х, чтобы Василий выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN : NC = SK : KC = 1 : 3. Плоскость \alpha содержит прямую KN и параллельна прямой BC.

а) Докажите, что плоскость \alpha параллельна прямой SA.
б) Найдите угол между плоскостями \alpha и SBC.

а) Решите уравнение 1 + \log_2(9x^2 + 5) = \log_{\sqrt{2}}\sqrt{8x^4 + 14}.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−1; \frac{8}{9}].

а) Приведите пример семизначного числа, вычёркивая цифры которого, можно получить каждое из чисел: 123, 426, 786.
б) Существует ли девятизначное число, вычёркивая цифры которого, можно получить каждое из чисел: 123, 238, 435, 567, 791?
в) Найдите наименьшее число, из которого можно получить все числа от 1 до 40 включительно, вычёркивая из него цифры.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
\sqrt{x^4 + (a - 5)^4} = |x + a - 5| + |x - a + 5|
имеет единственое решение.

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке в размере S тыс. рублей, где S — натуральное число, на 3 года. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Месяц и год — долг (в тыс. рублей)
Июль 2016 — S
Июль 2017 — 0,7S
Июль 2018 — 0,4S
Июль 2019 — 0

Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.

Решите неравенство 2\log_2(1 − 2x) − \log_2\left(\frac{1}{x} − 2\right) \le \log_2(4x^2 + 6x − 1).

а) Решите уравнение \left(\frac{1}{49}\right)^{\sin(x+\pi)} = 7^{2\sqrt{3}\sin\left(\frac{\pi}{2}−x\right)}.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3\pi; \frac{9\pi}{2}].

Три числа назовём хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника.
Три числа назовём отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.

а) Даны 8 различных натуральных чисел. Может ли оказаться, что среди них не найдётся ни одной хорошей тройки?
б) Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три отличных тройки?
в) Даны 12 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
\sqrt{2^x - a} + \frac{a - 1}{\sqrt{2^x - a}} = 1
имеет ровно два различных корня.