Решение:

Радиус шара равен радиусу цилиндра. Высота цилиндра равна двум радиусам шара:
$\mathrm{h}=\mathrm{R}+\mathrm{R}=2\mathrm{R}.$
Тогда объём цилиндра равен:
${\mathrm{V}}_{\mathrm{цил}.}={\mathrm{\pi R}}^2·\mathrm{h}={\mathrm{\pi R}}^2·2\mathrm{R}=2{\mathrm{\pi R}}^3.$
Объём шара равен 50 и находится по формуле:

Ответ: 75

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

Ответ: 39

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
1) Диаметр шара равен высоте цилиндра 
2) Радиус шара равен радиусу основания цилиндра.
3)  - искомая величина.
4) 
(по условию).

Ответ: 20

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

Воспользуемся формулой:
где
- полупериметр основания;
- апофема (т.е. высота боковой грани).
(см. рисунок).

(см. рисунок).
Теорема Пифагора:

Из  

Ответ: 1008

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

Правильный шестиугольник состоит из 6 равносторонних треугольников: 
SAOB=12SABCDEF=16·12=2.

Ответ: 120

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Многогранник c вершинами  – это параллелепипед в основании, которого прямоугольник и высота равна 12.

Шестиугольник в основании призмы можно разделить на 12 равных треугольников, площадь прямоугольника составляет 8 треугольников. Зная площадь шестиугольника, найдём площадь прямоугольника:

Найдём объём искомого многогранника:

Ответ: 80

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

Найдём сначала объём отсечённого конуса. Конус поделен в отношении 1:2, т.е. всего 3 части выразим высоту отсечённого конуса:

Треугольники подобны по 2-м углам (по прямому и по общему при вершине конуса). Если они подобны и одни стороны (высоты конусов) относятся как  то и другие также (радиусы конусов), поэтому радиуса:

Тогда объём той части исходного конуса, которая примыкает к его основанию, равна:

Ответ: 52

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

	h	d	V
1	16 см
2	? см

Ответ: 4

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

Сделаем рисунок с многоугольником  Это треугольная пирамида с высотой и прямоугольным треугольником в основании с катетами 9 и 7. Объем этой пирамиды можно найти по формуле 

Ответ: 63

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Линейные размеры отсечённой треугольной призмы в два раза меньше исходной, кроме высоты h. Поэтому периметр в основании становится в два раза меньше исходного: и площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна

Ответ: 12

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Диагональ куба  Значит,  Тогда объём куба 

Ответ: 8

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Объем куба тогда его ребро Площадь поверхности 

Ответ: 24

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

Ответ: 18

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
1) - пирамида с основанием  и вершиной 
2) Основание - прямоугольник  Его площадь равна произведению сторон:
3) Высота пирамиды равна  так как  перпендикулярно плоскости основания:
4) Объем пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту:

Ответ: 63

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Площадь поверхности сферы равна  Середина ребра куба является центром сферы, следовательно, ребро куба является диаметром сферы, внутри куба содержится  сферы, а значит и  площади поверхности сферы: 

Ответ: 0,9025

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Объем конуса равен  так как  Следовательно,  Объем шара равен  подставим полученное значение в формулу: 

Ответ: 428

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Объем конуса равен  Образующая, радиус основания и высота образуют прямоугольный треугольник, так как образующая является гипотенузой и наклонена к плоскости основания под углом  то против этого угла находится катет, равный половине образующей, следовательно, высота конуса равна 1. Найдем радиус основания по теореме Пифагора:  Тогда объем конуса равен 

Ответ: 1

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)