Решение:
Конус вписан в сферу, следовательно, угол между образующими конуса равен , образущие и диаметр большого круга сферы образуют равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдем образующую по теореме Пифагора:
 

Ответ: 104

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Пусть высота второй кружки -  тогда высота первой кружки -  (так как первая кружка в два раза выше). Пусть радиус первой кружки -  тогда радиус второй кружки -  (так как вторая кружка в три раза шире). Объем цилиндра равен  следовательно, отношение объема второй кружки к объему первой равно 

Ответ: 4,5

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Объем цилиндрического сосуда равен  Найдем площадь основания сосуда:  Объем детали равен объему жидкости в сосуде, которую деталь вытеснила:

Ответ: 2275

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Осевое сечение цилиндра является прямоугольником, его площадь равна  Площадь боковой поверхности цилиндра равна  тогда а 

Ответ: 4

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Объем конуса равен  так как  Следовательно,  Объем шара равен  подставим полученное значение в формулу: 

Ответ: 188

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Объем конуса равен  так как  Следовательно,  Объем шара равен  подставим полученное значение в формулу: 

Ответ: 156

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Площадь боковой поверхности конуса равна площадь боковой поверхности цилиндра равна  по условию  По теореме Пифагора найдем образующую через прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса и радиусом основания:  Тогда  Подставим полученное значение в формулу боковой поверхности цилиндра: 

Ответ: 6

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Высота цилиндра равна двум радиусам шара, а радиус основания цилиндра равен радиусу шара, тогда объем цилиндра можно выразить как
 Объем шара равен  подставим сюда полученное значение  

Ответ: 12

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Объем цилиндра равен  Основание и высота у конуса и цилиндра совпадают, следовательно, объем конуса равен

Ответ: 2

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Многогранник  является треугольной пирамидой с основанием, равным основанию призмы (основание ) и высотой, равной боковому ребру призмы (ребро ). Следовательно, объем пирамиды равен 

Ответ: 18

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Объем конуса равен  Объем жидкости также имеет форму конуса, высота составляет  радиус  так как конусы подобны. Следовательно,  Найдем объем конуса: 


 значит, в сосуд нужно долить мл.

Ответ: 342

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Многогранник составляет половину параллелепипеда, следовательно, его объем равен половине объема параллелепипеда:

Ответ: 105

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Ребра параллелепипеда равны диаметру сферы,  Параллелепипед является кубом, следовательно, его объем равен

Ответ: 32768

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
В основании правильной пирамиды лежит квадрат, точка О является точкой пересечения диагоналей, BO = OD = AO = OC = 21. SO является высотой, следовательно, SOС - прямоугольный треугольник, найдем SC по теореме Пифагора: 

Ответ: 35

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

Разделим многогранник на два параллелепипеда, как показано на рисунке. Первый параллелепипед имеет ребра, равные 2, 3, 5, объем равен  Второй параллелепипед имеет ребра, равные 1, 2, 3, объем равен  Следовательно, объем многогранника равен 36.

Ответ: 36

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

Разделим многогранник на два параллелепипеда, как показано на рисунке. Первый параллелепипед имеет ребра, равные 2, 2, 3, объем равен  Второй параллелепипед имеет ребра, равные 2, 2, 4, объем равен  Следовательно, объем многогранника равен 28.

Ответ: 28

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

Разделим многогранник на два параллелепипеда, как показано на рисунке. Первый параллелепипед имеет ребра, равные 1, 2, 4, объем равен  Второй параллелепипед имеет ребра, равные 1, 4, 4, объем равен  Следовательно, объем многогранника равен 24.

Ответ: 24

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

Достроим диагональ BD и получим прямоугольный треугольник  Найдем по теореме Пифагора BD:
Тогда по теореме Пифагора 

Ответ: 9

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Объем конуса равен  Если высота останется прежней, а радиус основания увеличить в 5 раз, то объем увеличится в  раз.

Ответ: 25

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Высота, образующая и радиус основания образуют прямоугольный треугольник, радиус равен половине диаметра, то есть 10. Найдем образующую конуса по теореме Пифагора:

Ответ: 26

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)