Открытый банк заданий по ЕГЭ

Решение:

Разделим многогранник на два параллелепипеда, как показано на рисунке. Первый параллелепипед имеет ребра, равные 2, 3, 5, объем равен  Второй параллелепипед имеет ребра, равные 1, 2, 3, объем равен  Следовательно, объем многогранника равен 36.

Ответ: 36

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

Разделим многогранник на два параллелепипеда, как показано на рисунке. Первый параллелепипед имеет ребра, равные 2, 2, 3, объем равен  Второй параллелепипед имеет ребра, равные 2, 2, 4, объем равен  Следовательно, объем многогранника равен 28.

Ответ: 28

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

Разделим многогранник на два параллелепипеда, как показано на рисунке. Первый параллелепипед имеет ребра, равные 1, 2, 4, объем равен  Второй параллелепипед имеет ребра, равные 1, 4, 4, объем равен  Следовательно, объем многогранника равен 24.

Ответ: 24

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

Достроим диагональ BD и получим прямоугольный треугольник  Найдем по теореме Пифагора BD:
Тогда по теореме Пифагора 

Ответ: 9

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Объем конуса равен  Если высота останется прежней, а радиус основания увеличить в 5 раз, то объем увеличится в  раз.

Ответ: 25

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Высота, образующая и радиус основания образуют прямоугольный треугольник, радиус равен половине диаметра, то есть 10. Найдем образующую конуса по теореме Пифагора:

Ответ: 26

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Высота, образующая и радиус основания образуют прямоугольный треугольник, найдем радиус основания по теореме Пифагора:  Следовательно, диаметр основания равен 

Ответ: 14

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

Разделим многогранник на два параллелепипеда, как показано на рисунке. Первый параллелепипед имеет ребра, равные 1, 2, 3, объем равен  Второй параллелепипед имеет ребра, равные 1, 3, 3, объем равен  Следовательно, объем многогранника равен 15.

Ответ: 15

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

Достроим диагональ BD и получим прямоугольный треугольник  Найдем по теореме Пифагора BD:

Тогда по теореме Пифагора 

Ответ: 18

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
О является точкой пересечения диагоналей, AO = OC. SO является высотой, следовательно, SOC - прямоугольный треугольник, найдем OC по теореме Пифагора:  Тогда 

Ответ: 110

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
О является точкой пересечения диагоналей, BO = OD. SO является высотой, следовательно, SOD - прямоугольный треугольник, найдем OD по теореме Пифагора:  Тогда 

Ответ: 24

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

Многогранник  составляет половину параллелепипеда, следовательно, его объем равен половине объема параллелепипеда:

Ответ: 30

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
В основании параллелепипеда лежит квадрат со стороной, равной диаметру вписанной окружности, то есть 6. Высота цилиндра совпадает с высотой параллелепипеда, следовательно, она равна

Ответ: 1

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

Многогранник  является четырехугольной призмой. Площадь основания четырехугольной призмы равна двум третьим площади основания правильной шестиугольной призмы, высоты у призм совпадают. Следовательно, объем четырехугольной призмы равен двум третьим от объема шестиугольной:

Ответ: 66

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник, состоящий из шести равных треугольников со сторонами 2,5. Воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образующегося из высоты пирамиды, бокового ребра и стороны треугольника:

Ответ: 6

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Пусть площадь полной поверхности отсеченного конуса равна  Маленький и большой конусы подобны, коэффициент подобия равен  Тогда площадь поверхности большого конуса равна  найдем отсюда площадь поверхности отсеченного конуса:

Ответ: 12,6

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Площадь боковой поверхности цилиндра равна  где - радиус основания цилиндра, равный половине диаметра. Найдем радиус основания, а затем диаметр: 

Ответ: 5

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Площадь боковой поверхности цилиндра равна  где - радиус основания цилиндра, равный половине диаметра. Отсюда высота равна

Ответ: 3

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Объем цилиндра равен  тогда высота:  При увеличении диаметра сосуда в 7 раза высота равного объема жидкости уменьшится в 49 раз и станет равна см.

Ответ: 6

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Объем цилиндра равен  тогда высота:  При увеличении диаметра сосуда в 4 раза высота равного объема жидкости  уменьшится в 16 раз и станет равна см.

Ответ: 6

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)