Открытый банк заданий по ЕГЭ

Решение:
Объем куба тогда его ребро Площадь поверхности 

Ответ: 24

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

Ответ: 18

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
1) - пирамида с основанием  и вершиной 
2) Основание - прямоугольник  Его площадь равна произведению сторон:
3) Высота пирамиды равна  так как  перпендикулярно плоскости основания:
4) Объем пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту:

Ответ: 63

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Площадь поверхности сферы равна  Середина ребра куба является центром сферы, следовательно, ребро куба является диаметром сферы, внутри куба содержится  сферы, а значит и  площади поверхности сферы: 

Ответ: 0,9025

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Объем конуса равен  так как  Следовательно,  Объем шара равен  подставим полученное значение в формулу: 

Ответ: 428

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Объем конуса равен  Образующая, радиус основания и высота образуют прямоугольный треугольник, так как образующая является гипотенузой и наклонена к плоскости основания под углом  то против этого угла находится катет, равный половине образующей, следовательно, высота конуса равна 1. Найдем радиус основания по теореме Пифагора:  Тогда объем конуса равен 

Ответ: 1

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Конус вписан в сферу, следовательно, угол между образующими конуса равен , образущие и диаметр большого круга сферы образуют равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдем образующую по теореме Пифагора:
 

Ответ: 104

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Пусть высота второй кружки -  тогда высота первой кружки -  (так как первая кружка в два раза выше). Пусть радиус первой кружки -  тогда радиус второй кружки -  (так как вторая кружка в три раза шире). Объем цилиндра равен  следовательно, отношение объема второй кружки к объему первой равно 

Ответ: 4,5

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Объем цилиндрического сосуда равен  Найдем площадь основания сосуда:  Объем детали равен объему жидкости в сосуде, которую деталь вытеснила:

Ответ: 2275

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Осевое сечение цилиндра является прямоугольником, его площадь равна  Площадь боковой поверхности цилиндра равна  тогда а 

Ответ: 4

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Объем конуса равен  так как  Следовательно,  Объем шара равен  подставим полученное значение в формулу: 

Ответ: 188

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Объем конуса равен  так как  Следовательно,  Объем шара равен  подставим полученное значение в формулу: 

Ответ: 156

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Площадь боковой поверхности конуса равна площадь боковой поверхности цилиндра равна  по условию  По теореме Пифагора найдем образующую через прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса и радиусом основания:  Тогда  Подставим полученное значение в формулу боковой поверхности цилиндра: 

Ответ: 6

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Высота цилиндра равна двум радиусам шара, а радиус основания цилиндра равен радиусу шара, тогда объем цилиндра можно выразить как
 Объем шара равен  подставим сюда полученное значение  

Ответ: 12

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Объем цилиндра равен  Основание и высота у конуса и цилиндра совпадают, следовательно, объем конуса равен

Ответ: 2

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Многогранник  является треугольной пирамидой с основанием, равным основанию призмы (основание ) и высотой, равной боковому ребру призмы (ребро ). Следовательно, объем пирамиды равен 

Ответ: 18

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Объем конуса равен  Объем жидкости также имеет форму конуса, высота составляет  радиус  так как конусы подобны. Следовательно,  Найдем объем конуса: 


 значит, в сосуд нужно долить мл.

Ответ: 342

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Многогранник составляет половину параллелепипеда, следовательно, его объем равен половине объема параллелепипеда:

Ответ: 105

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Ребра параллелепипеда равны диаметру сферы,  Параллелепипед является кубом, следовательно, его объем равен

Ответ: 32768

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
В основании правильной пирамиды лежит квадрат, точка О является точкой пересечения диагоналей, BO = OD = AO = OC = 21. SO является высотой, следовательно, SOС - прямоугольный треугольник, найдем SC по теореме Пифагора: 

Ответ: 35

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)