Старт
В трапеции ABCD основание AD в два раза меньше основания ВС. Внутри трапеции взяли точку М так, что углы ВАМ и CDM прямые.
а) Докажите, что BM = CM.
б) Найдите угол ABC, если угол BCD равен 64^\circ, а расстояние от точки M до прямой BC равно стороне AD.
В июле планируется взять кредит на сумму 1 342 000 рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
На сколько рублей больше придётся отдать в случае, если кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года), по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за 2 года)?
Решите неравенство (5x − 13) \cdot \log_{2x−5}(x^2 − 6x + 10) \ge 0.
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона AB основания равна 12, а высота пирамиды равна 1. На рёбрах AB, AC и AS отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = AN = 3 и AK = \frac{7}{4}.
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки M до плоскости SBC.
а) Решите уравнение \cos\left(\frac{3\pi}{2} + 2x\right) = \cos x.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\frac{5\pi}{2}; 4\pi].
Шесть различных натуральных чисел таковы, что никакие два из них не имеют общего делителя, большего 1.
а) Может ли сумма этих чисел быть равной 39?
б) Может ли сумма этих чисел быть равной 34?
в) Какова их минимальная сумма?
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
\begin{cases}
ax^2 + ay^2 + 2ax + (a + 2)y + 1 = 0,\\
xy + 1 = x + y
\end{cases}
имеет ровно четыре различных решения.
Дана равнобедренная трапеция ABCD. На боковой стороне AB и большем основании AD взяты соответственно точки F и E так, что FE параллельно CD, а FC = ED.
а) Докажите, что \angle BCF = \angle AFE.
б) Найдите площадь трапеции ABCD, если ED = 5BF, FE = 8 и площадь трапеции FCDE равна 27\sqrt{11}.
Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20% по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 7 млн рублей.
Решите неравенство 2^{x+1} + 0,5^{x−3} \ge 17.
