Открытый банк заданий ЕГЭ

а) Решите уравнение \log_{13}(\cos 2x − 9\sqrt{2}\cos x − 8) = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−2\pi; −\frac{\pi}{2}].

а) Представьте число \frac{33}{100} в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.

б) Представьте число \frac{15}{91} в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.

в) Найдите все возможные пары натуральных чисел m и n, для которых m \le n и \frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{1}{14}.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
\sqrt{x^4 - x^2 + a^2} = x^2 + x - a
имеет ровно три различных корня.

В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана такая точка E, что AE = CE.

а) Докажите, что AL \cdot BC = AB \cdot AC.
б) Найдите EL, если AC = 8, \tg \angle BCA = \frac{1}{2}.

Строительство нового завода стоит 115 млн рублей. Затраты на производство х тыс. единиц продукции на таком заводе равны 0,5x^2 + x + 9 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит px – (0,5x^2 + x + 9). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении р строительство завода окупится не более чем за 5 лет?

Решите неравенство \lg^4 x − 4\lg^3 x + 5\lg^2 x − 2\lg x \ge 0.

Основанием прямой четырёхугольной призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 является квадрат ABCD со стороной 5\sqrt{2}, высота призмы равна 2\sqrt{14}. Точка K — середина ребра BB_1. Через точки K и C_1 проведена плоскость \alpha параллельная прямой BD_1.

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью \alpha является равнобедренным треугольником.
б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью \alpha.

а) Решите уравнение 2\cos^2 x − 3\sin(−x) − 3 = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\frac{5\pi}{2}; 4\pi].

С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 1923 получается число 110911253).

а) Приведите пример числа, из которого получается 2108124117.
б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 37494128?
в) Какое наибольшее число, кратное 11, может получиться из трёхзначного числа?

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 4 + 2ax - a^2,\\
x^2 = y^2
\end{cases}
имеет ровно 4 решения.