Открытый банк заданий ЕГЭ

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
2^x - a = \sqrt{4^x - a}
имеет единственный корень.

В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине A расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая — боковых сторон, меньшего основания BC и первой окружности.

а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в точке P. Докажите, что \frac{AP}{PD} = \sin D.
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны \frac{4}{3} и \frac{1}{3}.

15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 300 тысяч рублей на 21 месяц. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;
— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

Решите неравенство (\log_2^2 x − 2\log_2 x)^2 < 11\log_2^2 x − 22\log_2 x − 24.

В правильной четырёхугольной призме ABCDA_1B_1C_1D_1 сторона основания AB = 6, а боковое ребро AA_1 = 4\sqrt{3}. На рёбрах AB, A_1D_1 и C_1D_1 отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = A_1N = C_1K = 1.

а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром BC. Докажите, что MNKL — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.

а) Решите уравнение 8^x − 9 · 2^{x+1} + 2^{5−x} = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\log_5 2; \log_5 20].

Найдите все значения a, при каждом из которых система неравенств
\begin{cases}
2a \le x,\\
6x > x^2 + a^2,\\
x + a \le 6
\end{cases}
имеет хотя бы одно решение на отрезке [4; 5].

В трапеции ABCD с основаниями BC и AD углы ABD и ACD прямые.

a) Докажите, что AB = CD.
б) Найдите AD, если AB = 2, BC = 7.

Строительство нового завода стоит 159 млн рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5х^2 + 2x + 6 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит px - (0,5x^2 + 2x + 6). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При этом в первый год р = 10, а далее каждый год возрастает на 1. За сколько лет окупится строительство?

Решите неравенство (3^{4x−x^2−3} − 1) \cdot \log_{\frac{1}{2}}(x^2 − 4x + 5) \ge 0.