Старт
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C_1, причём CC_1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что \angle ACB = 30^\circ, AB = 1, CC_1 = 2\sqrt{2}.
а) Докажите, что угол между прямыми AC_1 и BC равен 60^\circ.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
а) Решите уравнение 4 \cdot 16^{\cos x} − 9 \cdot 4^{\cos x} + 2 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−2\pi; −\frac{\pi}{2}].
В школьном живом уголке 4 ученика кормят кроликов. Каждый ученик насыпает нескольким кроликам (хотя бы одному, но не всем) порцию корма. При этом первый ученик даёт порции по 100 г, второй – по 200 г, третий – по 300 г, четвёртый – по 400 г, а какие-то кролики могут остаться без корма.
а) Может ли оказаться, что кроликов было 15 и все они получили одинаковое количество корма?
б) Может ли оказаться, что кроликов было 15 и все кролики получили разное количество корма?
в) Какое наибольшее количество кроликов могло быть в живом уголке, если известно, что каждый ученик засыпал корм ровно четырём кроликам и все кролики получили разное количество корма?
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
\sqrt{5 - 7x} \cdot \ln(9x^2 - a^2) = \sqrt{5 - 7x} \cdot \ln(3x + a)
имеет ровно один корень.
Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырёхугольника ABCD, причёмB и C – вершины равнобедренных треугольников с основаниями AM и DM соответственно, а прямые AM и MD перпендикулярны.
a) Докажите, что биссектрисы углов при вершинах B и C четырёхугольника ABCD пересекаются на стороне AD.
б) Пусть N – точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь
четырёхугольника ABCD, если известно, что BM : MC = 3 : 4, а площадь четырёхугольника, стороны которого лежат на прямых AM, DM, BN и CN, равна 24.
15-го января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условия его возврата таковы:
– 1-го числа k -го месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число k -го месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа k -го месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит?
Решите неравенство \log_2((x − 1)(x^2 + 2)) \le 1 + \log_2(x^2 + 3x − 4) − \log_2 x.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 известны длины рёбер: AB = 4, BC = 3, AA_1 = 2. Точки P и Q — середины рёбер A_1B_1 и CC_1 соответственно. Плоскость APQ пересекает ребро B_1C_1 в точке U.
а) Докажите, что B_1U : UC_1 = 2 : 1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 плоскостью APQ.
а) Решите уравнение 2x\cos x − 8\cos x + x − 4 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−\frac{\pi}{2}; \pi].
В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 4 письма, или 21 письмо, причём и тех, и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.
а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?
