Открытый банк заданий ЕГЭ

Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные произведения (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 9, 12, 36.

а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 5, 7, 9, 15, 21, 35, 45, 105, 315, 945?
в) Приведите все примеры шести задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор, наибольшее число в котором равно 82.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
\ln(6a - x) \ln(2x + 2a - 2) = \ln(6a - x) \ln(x - a)
имеет ровно один корень на отрезке [0; 2].

Дан параллелограмм ABCD с острым углом А. На продолжении стороны AD за точку D взята точка N такая, что CN = CD, а на продолжении стороны CD за точку D взята такая точка M, что AD = AM.

а) Докажите, что BM = BN.
б) Найдите MN, если AC = 7, sin \angle BAD = \frac{7}{25}.

15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 300 тысяч рублей на 21 месяц. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;
— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

Решите неравенство \log_{25}((x − 4)(x^2 − 2x − 8)) + 1 \ge 0,5\log_5(x − 4)^2.

Дана треугольная пирамида SABC. Основание высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка CH — высоты треугольника ABC.

а) Докажите, что AC^2 − BC^2 = AS^2 − BS^2.
б) Найдите объём пирамиды SABC, если AB = 25, AC = 10, BC = 5\sqrt{13}, SC = 3\sqrt{10}.

а) Решите уравнение \cos 2x + \cos^2\left(x − \frac{\pi}{2}\right) = 0,75.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\pi; \frac{5\pi}{2}].

(1)Возвращаясь к своему детству, я вспоминаю маленькую, ныне уже не существующую библиотеку имени Достоевского, неподалёку от Чистых прудов. (2)Заведующая этой библиотекой, не имевшая учительского диплома, была истинным педагогом по душевной, нравственной своей сути. (3)Радистка, прошедшая войну, тяжело раненная под Кёнигсбергом, потерявшая в войну близких, знающая цену одиночеству людскому и горю, немногословная, угловатая... (4)В ней было живое любопытство к нам, нескладным подросткам послевоенного времени, «огольцам», топтавшимся по Чистым прудам, обменивавшим марки на трофейные немецкие ножички или пробки, роскошные альбомы с дрезденскими Венерами на зачитанный, без начала и конца драгоценный томик «Графа Монте-Кристо». (5)Дети дотелевизионной эпохи, мы были читателями книг. (6)В тёмных сыроватых закутках библиотек жили наши герои – наши знаменитые капитаны. (7)Часами простаивали мы у «Колизея», чтобы посмотреть замечательный боевик того времени – фильм «Два бойца». (8)А она скликала нас в библиотеку, мы сидели в тёмном зальчике, и к нам приходил неведомый нам ещё тогда, непрочитанный, но завораживающий необычными, как бы с трудом, из глубины добытыми словами Андрей Платонов. (9)Приходил и другой писатель, которого мы знали в основном как друга Аркадия Гайдара, – Константин Паустовский. (10)И слава его, и книги дошли до нас позже, а тогда мы читали, пожалуй, только маленькую повесть со странным названием «Кара-Бугаз». (11)О чём они говорили в те далёкие вечера, казавшиеся нам тогда обычными, само собой разумеющимися и видящиеся сегодня как сон, который ни вспомнить, ни забыть? (12)Что они рассказывали? (13)Чему учили? (14)А скорее всего, и не учили. (15)А просто говорили о самых обыкновенных случаях из самой обыкновенной жизни, о том, что, может, не всегда было так уж и интересно нам, так как ничего чрезвычайного и сверхъестественного в этих рассказах не было. (16)Никаких драк, приключений, выстрелов, погонь... (17)Простая жизнь, человеческие отношения, человеческие судьбы, но что-то западало навсегда, как зерно, брошенное в благодатную землю, и прорастало много позже, и обретало бескрайнюю, бесконечную уже теперь жизнь. (18)«Случайно на ноже карманном найти пылинку дальних стран», – глуховато читал Паустовский, и мир, ещё не оттаявший и полуразрушенный, просыпался в цветном тумане обещанием будущего. (19)Как важно, чтобы была на пути такая вот библиотека имени Достоевского или другое учреждение, где работают взрослые, которые постараются понять тебя и принять не только благополучного, успевающего, чистенького, но и блуждающего впотьмах, ищущего, туманно представляющего, что тебе в жизни надо. (20)Такие люди оставляют в формирующейся юношеской душе след навсегда.

Из предложений 11-13 выпишите антонимы (антонимическую пару).

(1)В русском человеке нет европейской угловатости, непроницаемости, неподатливости. (2)Он со всеми уживается и во всё вживается. (3)Он сочувствует всему человеческому вне различия национальности, крови и почвы. (4)Он находит и немедленно допускает разумность в том, в чём хоть сколько-нибудь есть общечеловеческого интереса. (5)У него инстинкт общечеловечности. (6)Он угадывает общечеловеческую черту даже в самых резких исключительностях других народов. (7)Тотчас же соглашает, примиряет их в своей идее, находит им место в своём умозаключении и нередко открывает точку соединения и примирения в совершенно противоположных, сопернических идеях двух различных европейских наций, – в идеях, которые сами собою, у себя дома, ещё до сих пор, к несчастью, не находят способа примириться между собою, а может быть, и никогда не примирятся. (8)В то же самое время в русском человеке видна самая полная способность самой здравой над собой критики, самого трезвого на себя взгляда и отсутствие всякого самовозвышения, вредящего свободе действия. (9)Разумеется, мы говорим про русского человека вообще, собирательно, в смысле всей нации. (10)Даже физическими способностями русский не похож на европейцев. (11)Всякий русский может говорить на всех языках и изучить дух каждого чуждого языка до тонкости, как бы свой русский язык, – чего нет в европейских народах, в смысле всеобщей народной способности. (12)Неужели же это не указывает на что-нибудь? (13)Неужели это только одно случайное, бесцельное явление?(14)Неужели по таким явлениям нельзя осмыслить и хоть отчасти предугадать хоть что-нибудь в будущем развитии нашего народа, в его стремлениях и целях? (15)И вот эта-то нация, осиленная обстоятельствами, столько веков враждебно смотрела на Европу и упорно не хотела жить с нею и не предчувствовала своей будущности! (16)Пётр почувствовал в себе каким-то инстинктом новую силу и угадал потребность расширения взгляда и поля действия для всех русских, – потребность, скрытую в них бессознательно и бессознательно вырывавшуюся наружу. (17)Эта потребность была в их крови ещё со славянских времён. (18)Говорят, что Пётр хотел сделать из России только Голландию? (19)Не знаем; лицо Петра, несмотря на все исторические разъяснения и изыскания последнего времени, до сих пор ещё очень для нас загадочно. (20)Мы понимаем только одно: что нужно было быть слишком оригинальным, чтоб, будучи московским царём, вздумать не только полюбить Голландию, но даже поехать в неё. (21)Неужели ж один женевец Лефорт был и в самом деле всему причиною? (22)Во всяком случае, в лице Петра мы видим пример того, на что может решиться русский человек, когда он выживет себе полное убеждение и почувствует, что пора пришла, а в нём самом уже созрели и сказались новые силы.

Из предложения 11 выпишите синонимы (синонимическую пару).

(1)Ничего необычного в том, что случилось со мной, нет. (2)Я был чемпионом и считался самым сильным человеком. (3)Мне сызмальства были по душе физические упражнения. (4)Меня увлекали борьба, метания и бег на лыжах. (5)В конце концов страсть к силе побудила к самостоятельным занятиям. (6)Я составил перечень упражнений и стал неуклонно следовать ему. (7)С 1946 по 1953 год я учился в Саратовском суворовском училище. (8)Времени для личной тренировки в распорядке дня не было. (9)Поэтому я вставал за полчаса до подъёма, лишая себя блаженного получаса юношеского сна. (10)Мне нравилось «строить» силу, нравилось быть сильным, и я мечтал о большой силе, но грубая сила, вульгарная, меня всегда отвращала. (11)Я испытывал к ней даже не неприязнь – ненависть! (12)Самостоятельные тренировки весьма повлияли на телосложение и здоровье. (13)Семнадцати лет я при росте 187 см весил за 90 кг – это был чистый мускульный вес – я выглядел даже худым. (14)После окончания Суворовского училища с серебряной медалью я получил счастливую возможность продолжать образование в Военно-воздушной инженерной академии имени Жуковского. (15)Уже со второго курса я имел сугубо целевые тренировки по тяжёлой атлетике, но они никогда не шли за счёт учебы. (16)После двух лет тренировок я неожиданно для себя вплотную придвинулся к норме мастера спорта. (17)То была эпоха могучего американского атлета Пола Эндерсона. (18)Я жадно впитывал крохи сведений о его тренировках из спортивных журналов. (19)Я старался разгадать природу этой поразительной силы. (20)Я не связывал её лишь с весом. (21)Должно было быть в тренировках Эндерсона и нечто своё, отличное от принятого, того, к чему мы привыкли. (22)После я понял: необходимы массированные тренировки с помощью небольшого числа главных вспомогательных упражнений, обеспечивающих основную силу, и ещё резкое увеличение весов главных вспомогательных упражнений с одновременным сокращением работы над техникой классических упражнений, которая тогда отнимала у нас неоправданно много времени. (23)Ошеломляющее впечатление произвели на советских любителей спорта выступления Эндерсона в Москве и Ленинграде 15 и 18 июня 1955 года. (24)Это были первые выступления американских спортсменов в Советском Союзе. (25)Лето 1955 года оказалось поворотным в моём отношении к тренировкам. (26)Я окончательно осознал, что авторитеты лишают нас воли – надо ломать тренировку, искать своё и ничего не бояться. (27)Тогда я впервые написал в своей тренировочной тетради: «Ничто не властно надо мной!» (28)Я смог проникнуть на тренировку наших спортсменов и американцев. (29)С восторгом узнал прославленных атлетов: в могучей статности неторопливый Яков Куценко; во всём подчёркнуто значительный и насмешливый длиннорукий Трофим Ломакин; косолапящий, словно стесняющийся своей силы Аркадий Воробьёв и литые из отжатых мускулов Рафаэль Чимишкин и Николай Удодов. (30)И тут же знаменитые американцы, короли журнальных обложек: Томми Коно, Стенли Станчик, Дэвид Шеппард, Чарльз Винчи и, конечно же, Пол Эндерсон. (31)Даже на тренировке этой горе мышц все аплодировали. (32)Признаюсь, воспоминание о виденном многие годы вдохновляло меня в трудные минуты моих тренировок. (33)Мне почудилось: боги силы сошли на землю. (34)И даже в мечтах я не посягал тогда на рекорды «человека-скалы», как в своих статьях звал Эндерсона Яков Куценко. (35)Но в мою тетрадь уже были вписаны слова «Ничто не властно надо мной!». (36)Прочь гипноз имён: всё это лишает нас силы! (37)В марте 1957 года вскоре после зимней сессии и каникул на четвёртом курсе академии я «достал» с необыкновенной лёгкостью всесоюзный рекорд в толчковом упражнении. (38)Через несколько недель последовали новые рекорды – в толчковом упражнении и рывке! (39)Это было настолько неожиданно и в то же время просто, что я на всех снимках тех дней улыбаюсь под штангой. (40)Какой рекорд? (41)Разве это рекорд? (42)Штанга ничего не весит... (43)Я оказался в тройке сильнейших атлетов страны (за Алексеем Медведевым и Евгением Новиковым). (44)А затем началось топтание на месте из-за травм, сомнений и диплома. (45)Сомнения пожаловали из-за робости перед новыми весами. (46)Я получил несколько травм. (47)Нужно было время для обживания в новых координатах. (48)В 1959 году я защитил на «отлично» диплом – 5 лет и 7 месяцев учения были позади. (49)И уже в апреле совершенно неожиданно для себя я «накрыл» самый грозный рекорд – мировой рекорд Эндерсона в толчковом упражнении! (50)Трудно даже приблизительно передать, что творилось тогда в окружном Доме офицеров Ленинградского военного округа. (51)Настоящее безумие! (52)Топот, рёв, крики, слёзы, объятия и в то же время порыв, сплачивающий всех в единое! (53)С этим рекордом ко мне пришёл неофициальный титул самого сильного человека планеты. (54)Во всяком случае, так именовали меня с того дня. (55)Впервые с далёких предреволюционных лет этот титул перекочевал в Россию.

Из предложений 3-6 выпишите один фразеологизм.