Открытый банк заданий ЕГЭ

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

\begin{cases}
y + 2 − \frac{4}{x} = \left|y + \frac{2}{x} − 3\right|, \\
2y(y + 2) + 3x(ax − 2) = xy(2a + 3)
\end{cases}

имеет больше трёх решений.

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

\begin{cases}
\frac{5}{x} + 3 − y = \left|y − 2 + \frac{3}{x}\right|, \\
2y(y − 4) + 3x(ax + 4) = xy(2a + 3)
\end{cases}

имеет больше трёх решений.

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

\begin{cases}
\sqrt{a − y^2} = \sqrt{a − x^2}, \\
x^2 + y^2 = 2x + 4y
\end{cases}

имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

\begin{cases}
\sqrt{16 − y^2} = \sqrt{16 − a^2x^2}, \\
x^2 + y^2 = 8x + 4y
\end{cases}

имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

(7x − 6) \cdot \ln(x + a) = (7x − 6) \cdot \ln(4x − a)

имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].

Найдите все такие значения a, при каждом из которых уравнение

\sqrt{5 - 7x} \cdot \ln(9x^2 - a^2) = \sqrt{5 - 7x} \cdot \ln(3x + a)

имеет ровно один корень.

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

\begin{cases}
(x − a + 3)^2 + (y + a − 2)^2 = a + \frac{7}{2}, \\
x − y = a − 1
\end{cases}

имеет единственное решение.

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

\begin{cases}
(x − 2a + 2)^2 + (y + a − 2)^2 = a + \frac{5}{2}, \\
x + y = 1 − a
\end{cases}

имеет единственное решение.

Найдите все такие значения a, при каждом из которых неравенство −1 \le \cos x(\cos 2x − a − 1) \le 1 верно при всех действительных значениях x.

Найдите все такие значения a, при каждом из которых неравенство

−1 \le \sin x(a − \cos 2x) \le 1

верно при всех действительных значениях x.