Открытый банк заданий ЕГЭ

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

\frac{9x^2 - a^2}{3x - 9 - 2a} = 0

имеет ровно два различных решения.

На доске написано n единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 12 единиц, то можно получить сумму 147: 1+11+11+111+11+1+1=147

а) Можно ли получить сумму 150, если n = 60?
б) Можно ли получить сумму 150, если n = 80?
в) Для скольких значений n можно получить сумму 150?

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
3 \sin x = \cos x + a
имеет единственное решение на отрезке [\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}].

В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N – середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.

а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если cos \angle BAC = \frac{7}{25}.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 000 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Найдите r, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 160 000 рублей, а во второй год – 240 000 рублей.

Решите неравенство \frac{\log_4(16x^4) + 11}{\log_4^2 x − 9} \ge −1.

Основанием прямой треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Диагонали боковых граней AA_1B_1B и BB_1C_1C равны 15 и 9 соответственно, AB = 13.

а) Докажите, что треугольник BA_1C_1 прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды AA_1C_1B.

а) Решите уравнение 7\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) + 4\sqrt{3}\sin x \cos x = 4\cos^3 x.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−\frac{5\pi}{2}; −\pi].

Найдите все значения a, при каждом из которых среди корней уравнения

x^2 − 10x + 35 = a|x − 6|

будет ровно два положительных.

Найдите все значения a, при каждом из которых среди корней уравнения

3x^2 − 24x + 64 = a|x − 3|

будет ровно три положительных.