Открытый банк заданий ЕГЭ

В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 найдите угол между прямыми AD_1 и B_1D_1. Ответ дайте в градусах.

Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8, и боковым ребром, равным 10.

На доске написано 100 различных натуральных чисел, сумма которых равна 5120.

а) Может ли оказаться, что на доске написано число 230?
б) Может ли оказаться, что на доске нет числа 14?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 14, может быть на доске?

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

\begin{cases}
\dfrac{xy^2 - xy - 4y + 4}{\sqrt{x+2}} = 0,\\
y = x + a
\end{cases}

имеет ровно два различных решения.

Боковые стороны AB и AC равнобедренного треугольника ABC вдвое больше основания BC. На боковых сторонах AB и AC отложены отрезки AP и CQ соответственно, равные четверти этих сторон.

а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная его основанию, делится прямой PQ в отношении 1:3.
б) Найдите длину отрезка прямой PQ, заключенного внутри вписанной окружности треугольника ABC, если BC = 4\sqrt{19}.

15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Дата — Долг (в млн рублей)
15.01 — 1
15.02 — 0,6
15.03 — 0,4
15.04 — 0,3
15.05 — 0,2
15.06 — 0,1
15.07 — 0

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.

Решите неравенство \log_2(14 - 14x) \ge \log_2(x^2 - 5x + 4) + \log_2(x + 5).

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 на диагонали BD_1 отмечена точка N так, что BN : ND_1 = 1 : 2. Точка O — середина отрезка CB_1.

а) Докажите, что прямая NO проходит через точку A.
б) Найдите объём параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1, если длина отрезка NO равна расстоянию между прямыми BD_1 и CB_1 и равна \sqrt{2}.

а) Решите уравнение 4\cos^2 x − 8\sin x + 1 = 0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−3\pi; −\frac{3\pi}{2}].

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 известно, что AB = 9, BC = 8, AA_1 = 6. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B_1.