Открытый банк заданий ЕГЭ

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна боковому ребру SA. Медианы треугольника SBC пересекаются в точке M.

а) Докажите, что AM = AD.
б) Точка N — середина AM. Найдите SN, если AD = 6.

а) Решите уравнение \sqrt{2}\sin^3 x − \sqrt{2}\sin x + \cos^2 x = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−\frac{5\pi}{2}; −\pi].

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|x^2 - 2ax + 7| = |6a - x^2 - 2x - 1|
имеет более двух различных корней.

Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего года и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на одну и ту же фиксированную сумму, равную целому числу миллионов рублей. Найдите наименьший возможный размер такой суммы, при котором через четыре года вклад станет не меньше 30 млн рублей.

Решите неравенство \frac{3\lg^2 x − 8}{\lg^2 x − 4} \ge 2.

а) Решите уравнение 2\sin^2 x + \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \cos x.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−2\pi; −\frac{\pi}{2}].

Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковым произведением чисел.

а) Является ли множество {100; 101; 102; ...; 199} хорошим?
б) Является ли множество {2; 4; 8; ...; 2^{200}} хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {1; 3; 4; 5; 6; 7; 9; 11; 12}?

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
\frac{x^3 + x^2 - 9a^2 x - 2x + a}{x^3 - 9a^2 x} = 1
имеет ровно один корень.

В прямоугольном треугольнике АВС точки М и N – середины гипотенузы АВ и катета ВС соответственно. Биссектриса угла ВАС пересекает прямую MN в точке L.

а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если cos \angle BAC = \frac{7}{25}.

Решите неравенство 27 \cdot 45^x − 27^{x+1} − 12 \cdot 15^x + 12 \cdot 9^x + 5^x − 3^x \le 0.