Открытый банк заданий ЕГЭ

а) Решите уравнение 2\cos^2 x + 2\sin 2x = 3.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−\frac{3\pi}{2}; −\frac{\pi}{2}].

Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более \frac{2}{11} от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более \frac{2}{5} от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
\begin{cases}
ax^2 + ay^2 - (2a - 5)x + 2ay + 1 = 0,\\
x^2 + y = xy + x
\end{cases}
имеет ровно четыре различных решения.

В трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность с центром O.

а) Докажите, что sin \angle AOD = \sin \angle BOC.
б) Найдите площадь трапеции, если \angle BAD = 90^\circ, а основания равны 5 и 7.

В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на 30% по сравнению с предыдущим годом;
— с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.

Определите, на какую сумму взяли кредит в банке, если известно, что кредит был выплачен тремя равными платежами (за 3 года) и общая сумма выплат на 78 030 рублей больше суммы взятого кредита.

Решите неравенство \frac{31 − 5 \cdot 2^x}{4^x − 24 \cdot 2^x + 128} \ge 0,25.

а) Решите уравнение \frac{\sin x}{\sin^2 \frac{x}{2}} = 4\cos^2 \frac{x}{2}.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−\frac{9\pi}{2}; −3\pi].

На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 30. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.

а) Приведите пример последовательных 5 ходов.
б) Можно ли сделать 10 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x^2 + (a + 7)^2 = |x - 7 - a| + |x + a + 7|
имеет единственный корень.

Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC = CD.

а) Докажите, что AB:BC = AP:PD.
б) Найдите площадь треугольника COD, где O – центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD – диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB = 6, a BC = 6\sqrt{2}.