Открытый банк заданий ЕГЭ

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Месяц и год — Долг (в млн рублей)
Июль 2016 — S
Июль 2017 — 0,7S
Июль 2018 — 0,4S
Июль 2019 — 0

Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет больше 5 млн рублей.

Решите неравенство \log_{11}(8x^2 + 7) − \log_{11}(x^2 + x + 1) \ge \log_{11}\left(\frac{x}{x + 5} + 7\right).

Точка E лежит на высоте SO, а точка F — на боковом ребре SC правильной четырёхугольной пирамиды SABCD, причём SE : EO = SF : FC = 2 : 1.

а) Докажите, что плоскость BEF пересекает ребро SD в его середине.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью BEF, если AB = 8, SO = 14.

а) Решите уравнение \log_5(2 − x) = \log_{25} x^4.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\log_9 \frac{1}{82}; \log_9 8].

На доске написано число 2045 и ещё несколько (не менее двух) натуральных чисел, не превосходящих 5000. Все написанные на доске числа различны. Сумма любых двух из написанных чисел делится на какое-нибудь из остальных.

а) Может ли на доске быть написано ровно 1024 числа?
б) Может ли на доске быть написано ровно пять чисел?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске?

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
\left(x + \frac{1}{x-a}\right)^2 - (a + 9)\left(x + \frac{1}{x-a}\right) + 2a(9-a) = 0
имеет ровно 4 решения.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?

Решите неравенство \frac{1}{\log_3 x + 4} + \frac{2}{\log_3(3x)} \cdot \left(\frac{2}{\log_3 x + 4} − 1\right) \le 0.

Ребро куба ABCDA_1B_1C_1D_1 равно 6. Точки K, L и M — центры граней ABCD, AA_1D_1D и CC_1D_1D соответственно.

а) Докажите, что B_1KLM — правильная пирамида.
б) Найдите объём B_1KLM.

а) Решите уравнение (49^{\cos x})^{\sin x} = 7^{\sqrt{2}\cos x}.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\frac{5\pi}{2}; 4\pi].