Открытый банк заданий ЕГЭ

Решите неравенство \log_3^2(x^2 − 16) − 5\log_3(x^2 − 16) + 6 \ge 0.

Различные точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S так, что отрезок AB является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60^\circ.

а) Докажите, что \cos \angle ASC + \cos \angle BSC = 1,5.
б) Найдите объём тетраэдра SABC, если SC = 1, \cos \angle ASC = \frac{2}{3}.

а) Решите уравнение \cos x + \sqrt{3}\sin\left(\frac{3\pi}{2} − \frac{x}{2}\right) + 1 = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−4\pi; −\frac{5\pi}{2}].

Имеется 10 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9, 10, -11. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9, 10, -11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные десять сумм перемножают.

а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
\frac{9x^2 - a^2}{x^2 + 8x + 16 - a^2} = 0
имеет ровно два различных корня.

В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC.

а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых втрое больше другого.
б) Пусть O — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Найдите расстояние от вершины C до середины отрезка OD, если BC = 16 и AB = 10.

Решите неравенство \frac{\log_5(5x − 27)}{\log_5(x − 5)} \ge 1.

а) Решите уравнение \tg^2 x + 5\tg x + 6 = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−2\pi; −\frac{\pi}{2}].

На доске было написано 30 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 7. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньшее первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 1, с доски стёрли.

а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 14?
б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 12, но меньше 13?
в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
\begin{cases}
x^4 - y^4 = 12a - 28,\\
x^2 + y^2 = a
\end{cases}
имеет ровно четыре различных решения.