Открытый банк заданий ЕГЭ

Решите неравенство \log_{\frac{1}{3}}(18 − 9x) < \log_{\frac{1}{3}}(x^2 − 6x + 5) + \log_{\frac{1}{3}}(x + 2).

В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 все рёбра равны 6.

а) Докажите, что угол между прямыми AC и BC_1 равен 60^\circ.
б) Найдите расстояние между прямыми AC и BC_1.

а) Решите уравнение 9^{x+1} − 2 \cdot 3^{x+2} + 5 = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (\log_3 \frac{3}{2}; \sqrt{5}).

В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.

а) Может ли n быть больше 5?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?
в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 6. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
\begin{cases}
(x + ay - 5)(x + ay - 5a) = 0,\\
x^2 + y^2 = 16
\end{cases}
имеет ровно четыре различных решения.

а) Решите уравнение \tg^3 x + \tg^2 x − 3\tg x − 3 = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2\pi; \frac{7\pi}{2}].

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x^2 + (x - 1) \cdot \sqrt{3x - a} = x
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основаниям. Из точки A на сторону CD опустили перпендикуляр AH. На стороне AB отмечена точка E так, что прямые CD и CE перпендикулярны.

а) Докажите, что прямые BH и ED параллельны.
б) Найдите отношение BH к ED, если \angle BCD = 135^\circ.

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:

Месяц и год — долг (в млн рублей)
Июль 2016 — S
Июль 2017 — 0,7S
Июль 2018 — 0,4S
Июль 2019 — 0

Найдите наибольшее значение S, при котором разница между наибольшей и наименьшей выплатами будет меньше 1 млн рублей.

Решите неравенство \frac{15^x − 3^{x+1} − 5^{x+1} + 15}{−x^2 + 2x} \ge 0.