Открытый банк заданий ЕГЭ

На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно A, среднее арифметическое во второй группе равно B. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)

а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше \frac{A + B}{2}.
б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно \frac{A + B}{2}.
в) Найдите наибольшее возможное значение выражения \frac{A + B}{2}.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
3 \sin x + \cos x = a
имеет единственное решение на отрезке \left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right].

В треугольнике ABC угол ABC тупой, H – точка пересечения продолжений высот, угол AHC равен 60^\circ.

а) Докажите, что угол ABC равен 120^\circ.
б) Найдите BH, если AB = 7, BC = 8.

Решите неравенство \frac{4^x − 2^{x+3} + 7}{4^x − 5 \cdot 2^x + 4} \le \frac{2^x − 9}{2^x − 4} + \frac{1}{2^x − 6}.

В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB = 5 и диагональю BD = 9. Все боковые рёбра пирамиды равны 5. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS — точка F так, что SF = BE = 4.

а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB.
б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.

а) Решите уравнение \cos^2(\pi − x) − \sin\left(x + \frac{3\pi}{2}\right) = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\frac{5\pi}{2}; 4\pi].

Дано трёхзначное число А, сумма цифр которого равна S.

а) Может ли выполняться равенство A⋅S = 1105?
б) Может ли выполняться равенство A⋅S = 1106?
в) Какое наименьшее значение может принимать выражение, если оно больше 1503?

При каких значениях параметра a уравнение
\frac{|4x| - x - 3 - a}{x^2 - x - a} = 0
имеет ровно 2 различных решения.

Около треугольника ABC описана окружность. Прямая BO, где O – центр вписанной окружности, вторично пересекает описанную окружность в точке P.

а) Докажите, что OP = AP.
б) Найдите расстояние от точки P до прямой AC, если \angle ABC = 120^\circ, а радиус описанной окружности равен 18.

Зависимость количества Q (в шт., 0 \leq Q \leq 20000) купленного у фирмы товара от цены Р (в руб. за шт.) выражается формулой Q = 20000 - Р. Затраты на производство Q единиц товара составляют 6000Q + 4 000 000 рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог t рублей (0 < t < 10000) с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет PQ - 6000Q - 4 000 000 - tQ рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна tQ рублей.

Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении t общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?