Открытый банк заданий ЕГЭ

В пирамиде SABC известны длины рёбер: AB = AC = \sqrt{29}, BC = SA = 2\sqrt{5}, SB = SC = \sqrt{13}.

а) Докажите, что прямая SA перпендикулярна прямой BC.
б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC.

а) Решите уравнение 3 \cdot 9^{x+1} − 5 \cdot 6^{x+1} + 8 \cdot 2^{2x} = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−\frac{\pi}{2}; \pi].

На доске написано более 35, но менее 49 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 14, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -7.

а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(\tg x + 6)^2 - (a^2 + 2a + 8)(\tg x + 6) + a^2(2a + 8) = 0
имеет на отрезке \left[0; \frac{3\pi}{2}\right] ровно два решения.

Решите неравенство 9^{4x−x^2−1} − 36 \cdot 3^{4x−x^2−1} + 243 \ge 0.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания — точки B_1 и C_1, причём BB_1 — образующая цилиндра, а отрезок AC_1 пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол ABC_1 прямой.
б) Найдите угол между прямыми BB_1 и AC_1, если AB = 6, BB_1 = 15, B_1C_1 = 8.

а) Решите уравнение 3\tg^2 x − \frac{5}{\cos x} + 1 = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−\frac{7\pi}{2}; −2\pi].

На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа а и b, записанные на доске, заменяются на два числа: или а + b и 2а - 1, или а + b и 2b - 1 (например, из чисел 2 и 3 можно получить либо 3 и 5, либо 5 и 5).

а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из двух чисел, написанных на доске, окажется числом 13.
б) Может ли после 200 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 400?
в) Сделали 513 ходов, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|2x^2 - 3x - 2| = a - 2x^2 - 8x
либо не имеет решений, либо имеет единственное решение.

Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярно диагонали AC, пересекает сторону AD в точке М, равноудалённой от вершин В и D.

а) Докажите, что \angle ABM = \angle DBC = 30^\circ.
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой CM, если BC = 9.