Открытый банк заданий ЕГЭ

Основанием прямой четырёхугольной призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 является ромб ABCD, AB = AA_1.

а) Докажите, что прямые A_1C и BD перпендикулярны.
б) Найдите объём призмы, если A_1C = BD = 2.

а) Решите уравнение 2\cos 2x + 4\sqrt{3}\cos x − 7 = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\frac{5\pi}{2}; 4\pi].

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(5x - 2) \cdot \ln(x + a) = (5x - 2) \cdot \ln(2x - a)
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].

Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. На катете AC взята точка M. Окружность с центром O и диаметром CM касается гипотенузы в точке N.

а) Докажите, что прямые MN и BO параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN = 4 и AM : MC = 1 : 3.

15-го марта в банке был взят кредит на некоторую сумму на 31 месяц. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 30-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа 30-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;
— к 15-му числу 31-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какая сумма была взята в кредит, если общая сумма выплат после его погашения составила 555 тысяч рублей?

Решите неравенство \log_{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{13}}{5}} 4 \ge \log_{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{13}}{5}}(5 − 2^x).

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна боковому ребру SA. Медианы треугольника SBC пересекаются в точке M.

а) Докажите, что AM = AD.
б) Точка N — середина AM. Найдите SN, если AD = 6.

а) Решите уравнение \sqrt{2}\sin^3 x − \sqrt{2}\sin x + \cos^2 x = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−\frac{5\pi}{2}; −\pi].

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|x^2 - 2ax + 7| = |6a - x^2 - 2x - 1|
имеет более двух различных корней.

Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего года и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на одну и ту же фиксированную сумму, равную целому числу миллионов рублей. Найдите наименьший возможный размер такой суммы, при котором через четыре года вклад станет не меньше 30 млн рублей.