Старт
Решите неравенство \frac{3\lg^2 x − 8}{\lg^2 x − 4} \ge 2.
Авторизоваться
Открытый банк заданий ЕГЭ
а) Решите уравнение 2\sin^2 x + \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \cos x.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−2\pi; −\frac{\pi}{2}].
Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковым произведением чисел.
а) Является ли множество {100; 101; 102; ...; 199} хорошим?
б) Является ли множество {2; 4; 8; ...; 2^{200}} хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {1; 3; 4; 5; 6; 7; 9; 11; 12}?
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
\frac{x^3 + x^2 - 9a^2 x - 2x + a}{x^3 - 9a^2 x} = 1
имеет ровно один корень.
В прямоугольном треугольнике АВС точки М и N – середины гипотенузы АВ и катета ВС соответственно. Биссектриса угла ВАС пересекает прямую MN в точке L.
а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если cos \angle BAC = \frac{7}{25}.
Решите неравенство 27 \cdot 45^x − 27^{x+1} − 12 \cdot 15^x + 12 \cdot 9^x + 5^x − 3^x \le 0.
а) Решите уравнение 2\cos^2 x + 2\sin 2x = 3.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−\frac{3\pi}{2}; −\frac{\pi}{2}].
Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более \frac{2}{11} от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более \frac{2}{5} от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
а) Могло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
\begin{cases}
ax^2 + ay^2 - (2a - 5)x + 2ay + 1 = 0,\\
x^2 + y = xy + x
\end{cases}
имеет ровно четыре различных решения.
В трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность с центром O.
а) Докажите, что sin \angle AOD = \sin \angle BOC.
б) Найдите площадь трапеции, если \angle BAD = 90^\circ, а основания равны 5 и 7.
