Открытый банк заданий ЕГЭ

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
\frac{9x^2 - a^2}{3x - 9 - 2a} = 0
имеет ровно два различных решения.

В прямоугольном треугольнике АВС точка М лежит на катете АС, а точка N лежит на продолжении катета ВС за точку С, причём СМ = ВС и CN = AC. Отрезки СР и СQ – биссектрисы треугольников АСВ и NCM соответственно.

а) Докажите, что СР и СQ перпендикулярны.
б) Найдите РQ, если ВС = 3, а АС = 5.

В июле 2026 года планируется взять кредит на три года. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг будет возрастать на 30% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— платежи в 2027 и 2028 годах должны быть по 300 тыс. рублей;
— к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.

Какую сумму планируется взять в кредит, если известно, что платёж в 2029 году равен 860,6 тыс. рублей?

Решите неравенство \frac{4^{x^2+x−4} − 0,5^{2x^2−2x−1}}{0,2 \cdot 5^x − 1} \le 0.

В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 сторона основания AB равна 3, а боковое ребро AA_1 равно \sqrt{2}. На рёбрах AB, A_1B_1 и B_1C_1 отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = B_1N = C_1K = 1.

а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром AC. Докажите, что MNKL — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.

а) Решите уравнение \cos 2x + \sin^2 x = 0,25.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3\pi; \frac{9\pi}{2}].

На доске написано несколько (более одного) различных натуральных чисел, причём любые два из них отличаются не более чем в три раза.

а) Может ли на доске быть 5 чисел, сумма которых равна 47?
б) Может ли на доске быть 10 чисел, сумма которых равна 94?
в) Сколько может быть чисел на доске, если их произведение равно 8000?

Найдите все значения параметра b, при каждом из которых уравнение
x^3 + 2x^2 - x \log_2(b-1) + 4 = 0
имеет единственное решение на отрезке [-1; 2].

В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках C и M.

а) Докажите, что \angle BAM = \angle CAD.
б) Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника AOB, если AB = 6, a BC = 4BM.

Решите неравенство \frac{2}{7^x - 7} \geq \frac{5}{7^x - 4}.