Открытый банк заданий ЕГЭ

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
\frac{9x^2 - a^2}{x^2 + 8x + 16 - a^2} = 0
имеет ровно два различных корня.

В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC.

а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых втрое больше другого.
б) Пусть O — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Найдите расстояние от вершины C до середины отрезка OD, если BC = 16 и AB = 10.

Решите неравенство \frac{\log_5(5x − 27)}{\log_5(x − 5)} \ge 1.

а) Решите уравнение \tg^2 x + 5\tg x + 6 = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−2\pi; −\frac{\pi}{2}].

На доске было написано 30 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 7. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньшее первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 1, с доски стёрли.

а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 14?
б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 12, но меньше 13?
в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
\begin{cases}
x^4 - y^4 = 12a - 28,\\
x^2 + y^2 = a
\end{cases}
имеет ровно четыре различных решения.

15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Решите неравенство \frac{1}{3^x + 21} + \frac{1}{3^x − 27} \ge 0.

В треугольной пирамиде SABC известны боковые рёбра: SA = SB = 7, SC = 5. Основанием высоты этой пирамиды является середина медианы CM треугольника ABC. Эта высота равна 4.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите объём пирамиды SABC.

а) Решите уравнение \sin 2x = \sin x − 2\cos x + 1.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\frac{3\pi}{2}; 3\pi].