Открытый банк заданий ЕГЭ

Решите неравенство \log_2(4x^2 − 1) − \log_2 x \le \log_2\left(5x + \frac{9}{x} − 11\right).

Основание пирамиды PABCD — трапеция ABCD, причём \angle BAD + \angle ADC = 90^\circ. Плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, прямые AB и CD пересекаются в точке K.

а) Докажите, что плоскости PAB и PCD перпендикулярны.
б) Найдите объём пирамиды PKBC, если AB = BC = CD = 3, а высота пирамиды равна 8.

а) Решите уравнение 2\cos^2\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) + \sqrt{3}\sin x = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\frac{5\pi}{2}; 4\pi].

Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.

а) Найдите числа a, b, c и d, если a + b + c + d = 16 и a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = 32.
б) Может ли быть a + b + c + d = 29 и a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = 29?
в) Пусть a + b + c + d = 1400 и a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = 1400. Найдите количество возможных решений числа a.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
\sqrt{3x^2 + 2ax + 1} = x^2 + ax + 1
имеет ровно три различных корня.

В июле планируется взять кредит на сумму 6 409 000 рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 12,5% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен двумя равными платежами (то есть за два года)?

Решите неравенство \log_3^2(x^2 − 16) − 5\log_3(x^2 − 16) + 6 \ge 0.

Различные точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S так, что отрезок AB является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60^\circ.

а) Докажите, что \cos \angle ASC + \cos \angle BSC = 1,5.
б) Найдите объём тетраэдра SABC, если SC = 1, \cos \angle ASC = \frac{2}{3}.

а) Решите уравнение \cos x + \sqrt{3}\sin\left(\frac{3\pi}{2} − \frac{x}{2}\right) + 1 = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−4\pi; −\frac{5\pi}{2}].

Имеется 10 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9, 10, -11. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9, 10, -11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные десять сумм перемножают.

а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?