Открытый банк заданий ЕГЭ

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
\ln(6a - x) \ln(2x + 2a - 2) = \ln(6a - x) \ln(x - a)
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].

К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.

а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.
б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке Р. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку Р и центр окружности, если AM: MB = 1: 3?

Решите неравенство \log_5(3x + 1) + \log_5\left(\frac{1}{72x^2} + 1\right) \ge \log_5\left(\frac{1}{24x} + 1\right).

а) Решите уравнение 2\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) − \cos x = \sqrt{3}\sin 2x − 1.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\frac{5\pi}{2}; 4\pi].

Рассмотрим частное трёхзначного числа, в записи которого нет нулей, и произведения его цифр.

а) Приведите пример числа, для которого это частное равно \frac{113}{27}.
б) Может ли это частное равняться \frac{125}{27}?
в) Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем 27?

Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на х млн рублей, где х — целое число. Найдите наименьшее значение х, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 7 млн рублей.

Решите неравенство \log_2^2(16 + 6x − x^2) + 10\log_{0,5}(16 + 6x − x^2) + 24 > 0.

а) Решите уравнение 4 \cdot 16^{x−\frac{1}{2}} − 5 \cdot 12^x + 2 \cdot 9^{x+\frac{1}{2}} = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2; 3].

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
\log_{1-x}(a - x + 2) = 2
имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку [-1; 1).

В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120^\circ при вершине А проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона HF лежит на отрезке BC, а вершина E на отрезке AB.

а) Докажите, что FH = 2DH.
б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 4.