Войти или зарегистрироваться можно через соцсети
Старт
Для действительного числа x обозначим через [x] наибольшее целое число, не превосходящее x. Например, [\frac{11}{4}] = 2, так как 2 \le \frac{11}{4} < 3.
а) Существует ли такое натуральное число n, что [\frac{n}{2}] + [\frac{n}{3}] + [\frac{n}{9}] = n?
б) Существует ли такое натуральное число n, что [\frac{n}{2}] + [\frac{n}{3}] + [\frac{n}{5}] = n + 2?
в) Сколько существует различных натуральных n, для которых [\frac{n}{2}] + [\frac{n}{3}] + [\frac{n}{8}] + [\frac{n}{23}] = n + 2021?
Для действительного числа x обозначим через [x] наибольшее целое число, не превосходящее x. Например, [\frac{11}{4}] = 2, так как 2 \le \frac{11}{4} < 3.
а) Существует ли такое натуральное число n, что [\frac{n}{2}] + [\frac{n}{4}] + [\frac{n}{7}] = n?
б) Существует ли такое натуральное число n, что [\frac{n}{2}] + [\frac{n}{3}] + [\frac{n}{4}] = n + 2?
в) Сколько существует различных натуральных n, для которых [\frac{n}{2}] + [\frac{n}{3}] + [\frac{n}{9}] + [\frac{n}{17}] = n + 1945?
Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр — целое число.
а) Может ли это отношение быть равным 11?
б) Может ли это отношение быть равным 5?
в) Какое наибольшее значение может принимать это отношение, если число не делится на 100 и его первая цифра равна 7?
Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр — целое число.
а) Может ли это отношение быть равным 34?
б) Может ли это отношение быть равным 84?
в) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трёхзначного числа равна 4?
Известно, что a, b, c, d, e и f — это различные, расставленные в некотором, возможно, ином, порядке числа 2, 3, 4, 6, 7 и 16.
а) Может ли выполняться равенство \frac{a}{b} + \frac{c}{d} + \frac{e}{f} = 11?
б) Может ли выполняться равенство \frac{a}{b} + \frac{c}{d} + \frac{e}{f} = \frac{1345}{336}?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма \frac{a}{b} + \frac{c}{d} + \frac{e}{f}?
Известно, что a, b, c, d, e и f — это различные, расставленные в некотором, возможно, ином, порядке числа 2, 3, 4, 5, 6 и 16.
а) Может ли выполняться равенство \frac{a}{b} + \frac{c}{d} + \frac{e}{f} = 6?
б) Может ли выполняться равенство \frac{a}{b} + \frac{c}{d} + \frac{e}{f} = \frac{961}{240}?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма \frac{a}{b} + \frac{c}{d} + \frac{e}{f}?
На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно сумме цифр первого, а третье равно сумме цифр второго.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 3456?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 2345?
в) В тройке чисел первое число трёхзначное, а третье равно 5. Сколько существует таких троек?
На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно сумме цифр первого, а третье равно сумме цифр второго.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 2022?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 2021?
в) В тройке чисел первое число трёхзначное, а третье равно 2. Сколько существует таких троек?
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 7 раз больше, либо в 7 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 7735.
а) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
б) Может ли последовательность состоять из шести членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
Есть три коробки: в первой — 97 камней; во второй — 80, а в третьей коробке камней нет. Берут по одному камню из двух коробок и кладут их в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 58 камней, во второй — 59, а в третьей — 60?
б) Может ли в первой и второй коробках камней оказаться поровну?
в) Какое наибольшее количество камней может оказаться во второй коробке?
