Открытый банк заданий ЕГЭ

Трёхзначное число, меньшее 700, поделили на сумму его цифр и получили натуральное число n.

а) Может ли n равняться 64?
б) Может ли n равняться 78?
в) Какое наибольшее значение может принимать n, если все цифры ненулевые?

Трёхзначное число, меньшее 910, поделили на сумму его цифр и получили натуральное число n.

а) Может ли n равняться 68?
б) Может ли n равняться 86?
в) Какое наибольшее значение может принимать n, если все цифры ненулевые?

Из k кг материала фабрика изготавливает n одинаковых деталей массой m кг каждая, причём k = nm + q, где q кг — остатки материала, и q < m. После внедрения новых технологий на фабрике начали выпускать детали нового типа, каждая из которых стала на 0,1 кг легче детали старого типа, причём из 18 кг материала деталей нового типа стали делать на две больше, чем делали деталей старого типа из 21 кг материала.

а) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление 50 новых деталей будет достаточно 18 кг материала, а на 51 — уже нет?
б) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление 32 новых деталей будет достаточно 18 кг материала, а на 33 — уже нет?
в) Найдите все такие числа n, что фабрика может выпускать n новых деталей из 10 кг материала, не нарушая условия q < m.

Из k кг материала фабрика изготавливает n одинаковых деталей массой m кг каждая, причём k = nm + q, где q кг — остатки материала, и q < m. После внедрения новых технологий на фабрике начали выпускать детали нового типа, каждая из которых стала на 0,2 кг легче детали старого типа, причём из 63 кг материала деталей нового типа стали делать на две больше, чем делали деталей старого типа из 64 кг материала.

а) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление 15 новых деталей будет достаточно 63 кг материала, а на 16 — уже нет?
б) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление 40 новых деталей будет достаточно 63 кг материала, а на 41 — уже нет?
в) Найдите такое минимальное число n, что фабрика может выпускать n новых деталей из 80 кг материала, а n — 1 деталь не сможет, не нарушая условия q < m.

Есть три коробки: в первой коробке 112 камней, во второй — 99, а третья — пустая. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а) Могло ли в первой коробке оказаться 103 камня, во второй — 99, а в третьей — 9?
б) Могло ли в третьей коробке оказаться 211 камней?
в) Во второй коробке оказалось 4 камня. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?

Дано четырёхзначное число \overline{abcd}, где a,b,c и d — соответственно цифры разрядов тысяч, сотен, десятков и единиц, причём a\ne 0.

а) Может ли произведение a\cdot b\cdot c\cdot d быть больше суммы a+b+c+d в 5 раз?

б) Цифры a,b,c и d попарно различны. Сколько существует различных чисел \overline{abcd}, таких что a\cdot b\cdot c\cdot d > a+b+c+d?

в) Известно, что a\cdot b\cdot c\cdot d = k(a+b+c+d), где k — двузначное число. При каком наибольшем значении \overline{abcd} число k будет наибольшим?

Дано четырёхзначное число \overline{abcd} , где a,b,c и d — соответственно цифры разрядов тысяч, сотен, десятков и единиц, причём a\ne 0.

а) Может ли произведение a\cdot b\cdot c\cdot d быть больше суммы a+b+c+d в 3 раза?

б) Цифры a,b,c и d попарно различны. Сколько существует различных чисел \overline{abcd} таких, что a\cdot b\cdot c\cdot d < a+b+c+d?

в) Известно, что a\cdot b\cdot c\cdot d = k(a+b+c+d), где k — двузначное число. При каком наименьшем значении \overline{abcd} число k будет наибольшим?

Даны два набора чисел: в первом наборе каждое число равно 175, а во втором — каждое число равно 80. Среднее арифметическое всех чисел двух наборов равно 145.

а) Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число n. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно 132?
б) Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число m. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно 135?
в) Каждое число одного набора увеличили на натуральное число k, одновременно уменьшив на k каждое число другого набора, при условии, что все числа остались положительными. Какие целые значения может принимать среднее арифметическое всех чисел двух наборов?

Даны два набора чисел: в первом наборе каждое число равно 150, а во втором — каждое число равно 50. Среднее арифметическое всех чисел двух наборов равно 78.

а) Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число n. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно 71?
б) Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число m. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно 70?
в) Каждое число одного набора увеличили на натуральное число k, одновременно уменьшив на k каждое число другого набора, при условии, что все числа остались положительными. Какие целые значения может принимать среднее арифметическое всех чисел двух наборов?

Среднее геометрическое k чисел p_1, p_2, \dots, p_k вычисляется по формуле \sqrt[k]{p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_k}.

а) Может ли среднее геометрическое трёх различных двузначных чисел быть равно 36?

б) Найдите наименьшее возможное целое значение среднего геометрического четырёх различных двузначных чисел.

в) Найдите наименьшее возможное целое значение среднего геометрического шести различных двузначных чисел.