Войти или зарегистрироваться можно через соцсети
Старт
Среднее геометрическое k чисел p_1, p_2, \dots, p_k вычисляется по формуле \sqrt[k]{p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_k}.
а) Может ли среднее геометрическое трёх различных двузначных чисел быть равно 45?
б) Найдите наименьшее возможное целое значение среднего геометрического трёх различных двузначных чисел.
в) Найдите наибольшее возможное целое значение среднего геометрического шести различных двузначных чисел.
Трёхзначное число А имеет k натуральных делителей (в том числе 1 и А).
а) Может ли k быть равно 15?
б) Может ли k быть равно 28?
в) Найдите все числа А, для которых k \geq 30.
Трёхзначное число А имеет k натуральных делителей (в том числе 1 и А).
а) Может ли k быть равно 7?
б) Может ли k быть равно 25?
в) Найдите наибольшее k.
Из k кг материала фабрика изготавливает n одинаковых деталей массой m кг каждая, причём k = nm + q, где q кг — остатки материала, а q \leq m. После внедрения новых технологий на фабрике начали выпускать детали нового типа, каждая из которых стала на 0,1 кг легче детали старого типа, причём из 18 кг материала детали нового типа стали делать на две больше, чем делали детали старого типа из 21 кг материала.
а) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление 50 новых деталей будет достаточно 18 кг материала, а на 51 — уже нет?
б) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление 32 новых деталей будет достаточно 18 кг материала, а на 33 — уже нет?
в) Найдите все такие числа n, что фабрика может выпустить n новых деталей из 10 кг материала, не нарушая условия q \leq m.
Из k кг материала фабрика изготавливает n одинаковых деталей массой m кг каждая, причём k = nm + q, где q кг — остатки материала, а q \leq m. После внедрения новых технологий на фабрике начали выпускать детали нового типа, каждая из которых стала на 0,2 кг легче детали старого типа, причём из 63 кг материала детали нового типа стали делать на две больше, чем делали детали старого типа из 64 кг материала.
a) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление 15 новых деталей будет достаточно 63 кг материала, а на 16 — уже нет?
b) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление 40 новых деталей будет достаточно 63 кг материала, а на 41 — уже нет?
в) Найдите такое минимальное число n, что фабрика может выпустить n новых деталей из 80 кг материала, а n - 1 деталь не сможет, не нарушая условия q \leq m.
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 8 раз больше, либо в 8 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 4040.
а) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
б) Может ли последовательность состоять из четырёх членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 7 раз больше, либо в 7 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 9177.
а) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
б) Может ли последовательность состоять из пяти членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
Есть три коробки: в первой коробке 95 камней, во второй — 104, а третья — пустая. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в третьей коробке оказаться 199 камней?
б) Могло ли в первой коробке оказаться 100 камней, во второй — 50, а в третьей — 49?
в) В первой коробке оказалось 2 камня. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?
Есть три коробки: в первой коробке 112 камней, во второй 99, а третья пустая. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 103 камня, во второй 99, а в третьей 9?
б) Могло ли в третьей коробке оказаться 211 камней?
в) Во второй коробке оказалось 4 камня. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?
Дано четырёхзначное число \overline{abcd}, где a, b, c и d — соответственно цифры разрядов тысяч, сотен, десятков и единиц, причём a ≠ 0.
а) Может ли произведение a \cdot b \cdot c \cdot d быть больше суммы a + b + c + d в 5 раз?
б) Цифры a, b, c и d попарно различны. Сколько существует различных чисел \overline{abcd} таких, что a \cdot b \cdot c \cdot d > a + b + c + d?
в) Известно, что a \cdot b \cdot c \cdot d = k(a + b + c + d), где k — двузначное число. При каком наибольшем значении \overline{abcd} число k будет наибольшим?
