Открытый банк заданий ЕГЭ

Найдите все значения a, при каждом из которых система неравенств
\begin{cases}
x \le 2a + 6,\\
6x \ge x^2 + a^2,\\
x + a > 0
\end{cases}
имеет хотя бы одно решение на отрезке [1; 2].

В окружность вписана трапеция ABCD, AD – большее основание, проведена высота BH, вторично пересекающая окружность в точке K.

а) Докажите, что AC перпендикулярна AK.
б) Найдите AD, если радиус описанной окружности равен 12, \angle BAC = 30^\circ, CK пересекает основание AD в точке N. Площадь четырёхугольника BHNC в 8 раз больше, чем площадь треугольника KHN.

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остаётся равным S тыс. рублей;
– выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 360 тыс. рублей;
– к июлю 2021 года долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат за пять лет.

Решите неравенство \log_2((x - 1)(x^2 + 2)) \le 1 + \log_2(x^2 + 3x - 4) - \log_2 x.

Дана прямая призма ABCA_1B_1C_1, в основании которой лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. На AB отмечена точка P такая, что AP : PB = 3 : 1. Точка Q делит пополам ребро B_1C_1. Точка M делит пополам ребро BC. Через точку M проведена плоскость \alpha, перпендикулярная PQ.

а) Докажите, что прямая AB параллельна плоскости \alpha.
б) Найдите отношение, в котором плоскость \alpha делит отрезок PQ, если AA_1 = 5, AB = 12, \cos \angle ABC = \frac{3}{5}.

а) Решите уравнение 4 · 16^{\cos x} − 9 · 4^{\cos x} + 2 = 0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−2\pi; −\frac{\pi}{2}].

Найдите значение выражения \cos \alpha, если tg \alpha = −\frac{\sqrt{91}}{3} и \alpha \in \left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right).

Найдите значение выражения \cos \alpha, если tg \alpha = -\frac{\sqrt{21}}{2} и \alpha \in \left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right).

Найдите значение выражения \frac{14^{6,4} \cdot 7^{-5,4}}{4^{2,2}}.

Найдите значение выражения \frac{8^{2,8} \cdot 5^{3,2}}{20^{2,2}}.