Открытый банк заданий ЕГЭ

Строительство нового завода стоит 115 млн рублей. Затраты на производство х тыс. единиц продукции на таком заводе равны 0,5x^2 + x + 9 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит px – (0,5x^2 + x + 9). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении р строительство завода окупится не более чем за 5 лет?

Решите неравенство \lg^4 x − 4\lg^3 x + 5\lg^2 x − 2\lg x \ge 0.

Основанием прямой четырёхугольной призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 является квадрат ABCD со стороной 5\sqrt{2}, высота призмы равна 2\sqrt{14}. Точка K — середина ребра BB_1. Через точки K и C_1 проведена плоскость \alpha параллельная прямой BD_1.

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью \alpha является равнобедренным треугольником.
б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью \alpha.

а) Решите уравнение 2\cos^2 x − 3\sin(−x) − 3 = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\frac{5\pi}{2}; 4\pi].

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 4 + 2ax - a^2,\\
x^2 = y^2
\end{cases}
имеет ровно 4 решения.

В трапеции ABCD основание AD в два раза меньше основания ВС. Внутри трапеции взяли точку М так, что углы ВАМ и CDM прямые.

а) Докажите, что BM = CM.
б) Найдите угол ABC, если угол BCD равен 64^\circ, а расстояние от точки M до прямой BC равно стороне AD.

В июле планируется взять кредит на сумму 1 342 000 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

На сколько рублей больше придётся отдать в случае, если кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года), по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за 2 года)?

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона AB основания равна 12, а высота пирамиды равна 1. На рёбрах AB, AC и AS отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = AN = 3 и AK = \frac{7}{4}.

а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки M до плоскости SBC.

а) Решите уравнение \cos\left(\frac{3\pi}{2} + 2x\right) = \cos x.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\frac{5\pi}{2}; 4\pi].

Шесть различных натуральных чисел таковы, что никакие два из них не имеют общего делителя, большего 1.

а) Может ли сумма этих чисел быть равной 39?
б) Может ли сумма этих чисел быть равной 34?
в) Какова их минимальная сумма?