Открытый банк заданий по ЕГЭ

На доске написано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырех или семи чисел из записанных является целым числом.
а)  Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 567 и 1414?
б)  Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом другого, если среди записанных на доске чисел есть число 567?
в)  Известно, что среди записанных на доске чисел есть число и его квадрат Найдите наименьшее возможное значение

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых четырех или семи чисел является целым числом.

а)  Могут ли на доске одновременно быть записаны числа 563 и 1417?
б)  Может ли одно из написанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если на доске есть число 563?
в)  Найдите минимальное при котором на доске одновременно записаны числа 1 и

На доске записано последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на 25, меньше, чем чисел, делящихся на 29.
а)  Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на 25?
б)  Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на 25?
в)  Найдите наибольшее возможное значение

На доске записано последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на 20, меньше, чем чисел, делящихся на 23.
а)  Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на 20?
б)  Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на 20?
в)  Найдите наибольшее возможное значение k.

Из пары натуральных чисел где за один ход получают пару
а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары пару, большее число в которой равно 400?
б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары пару ?
в) Какое наименьшее a может быть в паре из которой за несколько ходов можно получить пару ?

В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 5 писем, или 16 писем, причём и тех и других юношей было не меньше двух. Возможно, что какойто юноша отправил какой-то девушке несколько писем.
а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили попарно различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых трех, четырех, пяти или шести чисел является целым числом. Одно из записанных чисел равно 300322.
а) Может ли среди написанных на доске чисел быть число 312?

На столе лежат 4 камня по 5 кг и 13 камней по 14 кг. Их разделили на 2 кучки.
а) Может ли разность масс двух этих кучек камней быть равна 6 кг?
б) Могут ли массы двух этих кучек быть равны?
в) Какая наименьшая положительная разность масс может быть у двух этих кучек камней?

Из набора цифр 0, 1, 2, 3, 5, 7 и 9 составляют пару чисел, используя каждую цифру ровно один раз. Оказалось, что одно из этих чисел четырёхзначное, другое — трёхзначное и оба кратны 45.
а) Может ли сумма такой пары чисел равняться 2205?
б) Может ли сумма такой пары чисел равняться 3435?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел в такой паре?

Дано натуральное число. Можно либо вычесть из него утроенную сумму его цифр, либо прибавить к нему утроенную сумму его цифр. При этом полученное число должно быть натуральным. 
a) Можно ли с помощью таких операций из числа 128 получить число 29?
б) Можно ли с помощью таких операций из числа 128 получить число 31?
в) Какое наименьшее натуральное число можно получить из 128 с помощью таких операций?

На окружности некоторым образом расставили натуральные числа от 4 до 18 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.
а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 8?
б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 7?
в) Помимо полученных разностей соседних чисел, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа можно так расставить числа, чтобы все разности (соседних чисел и чисел, стоящих через одно) были не меньше

На окружности некоторым образом расставили натуральные числа от 6 до 23 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.
а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 9?
б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 8?
в) Помимо полученных разностей соседних чисел, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого
наибольшего целого числа можно так расставить числа, чтобы все разности (соседних чисел и чисел, стоящих через одно) были не меньше ?

Пусть  обозначает двузначное число, равное  где  и  - цифры, 
а) Существуют ли такие различные ненулевые цифры  и что ?
б) Существуют ли такие различные ненулевые цифры  и если среди цифр и  есть цифра 7?
в) Какое наибольшее значение может принимать выражение  если цифры  и  различны и среди них есть цифры 4 и 7?

Пусть  обозначает двузначное число, равное  где  и  - цифры, 
а) Существуют ли такие различные ненулевые цифры  и что ?
б) Существуют ли такие различные ненулевые цифры  и если среди цифр и  есть цифра 5?
в) Какое наибольшее значение может принимать выражение  если цифры  и  различны и среди них есть цифры 4 и 5?

Пусть  обозначает двузначное число, равное  где  и  - цифры, 
а) Существуют ли такие различные ненулевые цифры  и что ?
б) Существуют ли такие различные ненулевые цифры  и если среди цифр и  есть цифра 5?
в) Какое наибольшее значение может принимать выражение  если цифры  и  различны и среди них есть цифры 4 и 6?

Есть четыре коробки: в первой коробке находятся 105 камней, во второй - 106, в третьей - 107, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок, всего три камня, и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Мог ли в первой коробке оказаться 101 камень, во второй - 106, в третьей - 107, а в четвёртой - 4?
б) Могло ли во второй коробке оказаться 318 камней?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?

Есть четыре коробки: в первой коробке находятся 109 камней, во второй - 110, в третьей - 111, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок, всего три камня, и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 105 камней, во второй - 110, в третьей - 111, а в четвёртой - 4?
б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 330 камней?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?

Есть четыре коробки: в первой коробке находятся 93 камня, во второй - 94, в третьей - 95, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок, всего три камня, и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 89 камней, во второй - 94, в третьей - 95, а в четвёртой - 4?
б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 282 камня?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?

Сумма цифр трёхзначного числа равна
а) Может ли произведение быть равно 1435?
б) Может ли произведение быть равно 1436?
в) Найдите наименьшее значение произведения если известно, что оно больше 1918.

Из пары натуральных чисел где за один ход получают пару
а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары пару, большее число в которой равно
б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары пару
в) Какое наименьшее a может быть в паре из которой за несколько ходов можно получить пару