Открытый банк заданий ЕГЭ

Деревянную линейку, длина которой выражается целым числом сантиметров, разрезают на куски. За один ход можно взять один или несколько кусков линейки, положить их друг на друга и разрезать каждый из них на две части, длины которых выражаются целым числом сантиметров.

а) Можно ли за четыре хода разрезать линейку длиной 16 см на куски длиной 1 см?
б) Можно ли за пять ходов разрезать линейку длиной 100 см на куски длиной 1 см?
в) Какое наименьшее число ходов нужно сделать, чтобы разрезать линейку длиной 200 см на куски длиной 1 см?

На столе лежит три карточки, на каждой из которых написана только одна цифра. Ваня составил из написанных на карточках цифр трёхзначное число А. Петя выбрал две из этих карточек и составил из написанных на них цифр двузначное число В и вернул карточки на место. Коля тоже выбрал две из этих трех карточек и составил из написанных на них цифр двузначное число С (возможно, то же самое, что и Петя).

а) Может ли быть верным равенство A = B + C?
б) Может ли быть верным равенство A = B + C, если числа В и С делятся на 3?
в) Найдите наибольшее число А, для которого может быть верным равенство A = B + C?

Есть контейнеры массой 7 тонн и массой 2 тонны и корабли грузоподъемностью 10 тонн.

а) Можно ли увезти за один раз 11 контейнеров массой 7 тонн и 22 контейнера массой 2 тонны на 14 кораблях?
б) Можно ли увезти за один раз 11 контейнеров массой 7 тонн и 22 контейнера массой 2 тонны на 12 кораблях?
в) На каком наименьшем количестве кораблей можно увезти за один раз 11 контейнеров массой 7 тонн и 77 контейнеров массой 2 тонны?

Квадратное уравнение x^2 - px + q = 0 с натуральными коэффициентами p и q имеет два натуральных корня.

а) Найдите все возможные значения p, если q = 11.
б) Могут ли одновременно выполняться неравенства p > 100 и q < 20?
в) Найдите наименьшее значение (p + q) при p < 20 и q < 20.

На овощебазу завезли капусту. Каждый из кочанов капусты весит 1, 2 или 3 килограмма. Фермер Иван поехал на овощебазу за капустой. Его сосед Фёдор попросил купить для него столько же капусты (по массе). На овощебазе Ивану составила набор кочанов капусты, суммарная масса которых составила N кг. Нужно разделить эти кочаны поровну (по массе) между Иваном и Фёдором так, чтобы не пришлось резать кочаны.

а) Существует ли набор кочанов суммарной массой N = 20, который невозможно разделить поровну?
б) Существует ли набор кочанов суммарной массой N = 24, который невозможно разделить поровну?
в) Найдите все значения N, для которых любой набор кочанов суммарной массы N можно разделить поровну.

Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.

а) Является ли множество 200; 201; 202; ...; 299 хорошим?
б) Является ли множество 2; 4; 8; ...; 2^{100} хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества 1; 2; 4; 5; 7; 9; 11?

Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8, 10.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.

Маша и Наташа делают фотографии. Каждый день каждая девочка делает на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. В конце Наташа сделала на 1001 фотографию больше, чем Маша.

а) Могло ли это произойти за 7 дней?
б) Могло ли это произойти за 8 дней?
в) Какое максимальное количество фотографий могла сделать Наташа, если Маша в последний день сделала меньше 40 фотографий?

Пять различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общего делителя, большего 1.

а) Может ли сумма всех пяти чисел быть равна 26?
б) Может ли сумма всех пяти чисел быть равна 23?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма всех пяти чисел?

Сорок гирек массой 1 г, 2 г, ..., 40 г разложили по двум кучам, в каждой куче хотя бы одна гирька. Масса каждой гирьки выражается целым числом граммов. Затем из второй кучи переложили в первую одну гирьку. После этого средняя масса гирек в первой куче увеличилась на 1 г.

а) Могло ли такое быть, если первоначально в первой куче лежали только гирьки массой 6 г, 10 г и 14 г?
б) Могла ли средняя масса гирек в первой куче первоначально равняться 8,5 г?
в) Какое наибольшее число гирек могло быть первоначально в первой куче?